Matura – Matematyka – Czerwiec 2026

Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.
Wyłączając przed nawias czynnik \(7^n\), otrzymamy:
$$7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=7^n(1+7^1+7^2)=7^n(1+7+49)=7^n\cdot57$$

Krok 2. Uzasadnienie podzielności.
Zauważmy, że liczbę \(57\) możemy zapisać jako iloczyn \(19\cdot3\). Podstawiając to do naszego wyrażenia, otrzymamy:
$$7^n\cdot57=7^n\cdot3\cdot19$$

Ponieważ \(n \ge 0\) jest liczbą całkowitą, to \(7^n\cdot3\) również jest liczbą całkowitą. Zapisaliśmy naszą początkową liczbę jako iloczyn liczby \(19\) i pewnej liczby całkowitej, co stanowi dowód na to, że jest ona podzielna przez \(19\).

Krok 1. Rozwiązanie równania wymiernego.
To równanie można rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie zacząć od tzw. mnożenia na krzyż:
$$3x(3x+4)=(x-1)(x+3) \\
9x^2+12x=x^2+3x-x-3 \\
9x^2+12x=x^2+2x-3 \\
8x^2+10x+3=0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=8,\;b=10,\;c=3\)
$$\Delta=10^2-4\cdot8\cdot3=100-96=4 \\
\sqrt{\Delta}=2$$

$$x_1=\frac{-10-2}{2\cdot8}=\frac{-12}{16}=-\frac{3}{4} \\
x_2=\frac{-10+2}{2\cdot8}=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z podanym przedziałem.
Oba rozwiązania nie wykluczają się z założeniami, ale to jeszcze nie oznacza, że obydwie odpowiedzi są poprawne. Musimy teraz sprawdzić, które z rozwiązań należy do przedziału \(\left(-\infty, -\frac{2}{3}\right)\). Dla ułatwienia sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (np. \(12\)), więc możemy uznać, że nasz analizowany przedział to \(\left(-\infty, -\frac{8}{12}\right)\), a nasze rozwiązania to \(x_1=-\frac{9}{12}\) oraz \(x_2=-\frac{6}{12}\). Widzimy zatem, że jedynie \(x_{1}\) należy do tego przedziału, stąd też jedynym rozwiązaniem tego zadania jest \(x=-\frac{3}{4}\).

Krok 1. Wyznaczenie czwartego wyrazu ciągu.
Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Podstawiamy znane dane (\(S_4=54\), \(n=4\), \(a_1=7\)), otrzymując:
$$54=\frac{7+a_4}{2}\cdot4 \\
54=(7+a_4)\cdot2 \\
27=7+a_4 \\
a_4=20$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu i drugiego wyrazu.
Znając pierwszy i czwarty wyraz, możemy wyznaczyć różnicę \(r\) tego ciągu:
$$a_4=a_1+3r \\
20=7+3r \\
13=3r \\
r=\frac{13}{3}$$

Krok 3. Obliczenie wartości drugiego wyrazu.
Mając różnicę i znając wartość pierwszego wyrazu, bez problemu obliczymy drugi wyraz tego ciągu:
$$a_2=a_1+r \\
a_2=7+\frac{13}{3} \\
a_2=\frac{21}{3}+\frac{13}{3} \\
a_2=\frac{34}{3} \\
a_2=11\frac{1}{3}$$

Krok 1. Zauważenie własności środkowej w trójkącie prostokątnym.
Odcinek \(CD\) jest wysokością, więc trójkąt \(ADC\) jest trójkątem prostokątnym. Odcinek \(BE\) jest środkową trójkąta \(ABC\), co oznacza, że punkt \(E\) dzieli bok \(AC\) na dwie równe części (\(AE = EC\)).
W trójkącie prostokątnym \(ADC\) odcinek \(DE\) jest środkową poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną \(AC\). Z własności tej środkowej wynika, że jej długość jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, czyli:
$$|DE|=|AE|=|EC|$$

Krok 2. Wykorzystanie własności trójkątów równoramiennych.
Z treści zadania wiemy, że \(|DB| = |DE|\). Łącząc to z poprzednim wnioskiem, otrzymujemy:
$$|AE|=|DE|=|DB|$$

Rozpatrzmy trójkąt \(ADE\). Ponieważ \(|AE| = |DE|\), jest to trójkąt równoramienny. Kąty przy jego podstawie \(AD\) mają równe miary. Oznaczmy miarę kąta \(CAB\) (czyli kąta \(DAE\)) jako \(\alpha\). Wtedy:
$$|\angle ADE|=\alpha$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ABE\).
Kąt \(BDE\) i kąt \(ADE\) są kątami przyległymi, więc ich suma wynosi \(180^\circ\). Zatem:
$$|\angle BDE|=180^\circ-\alpha$$

Rozpatrzmy teraz trójkąt \(BDE\). Z treści zadania wiemy, że \(|DB| = |DE|\), więc jest to również trójkąt równoramienny. Kąty przy jego podstawie \(BE\) są równe. Oznaczmy miarę kąta \(ABE\) (czyli kąta \(DBE\)) jako \(\beta\). Wtedy:
$$|\angle DEB|=\beta$$

Suma miar kątów w trójkącie \(BDE\) wynosi \(180^\circ\), co pozwala nam zapisać równanie:
$$|\angle BDE|+|\angle DBE|+|\angle DEB|=180^\circ \\
(180^\circ-\alpha)+\beta+\beta=180^\circ \\
180^\circ-\alpha+2\beta=180^\circ \\
2\beta=\alpha$$

Podstawiając z powrotem nasze oznaczenia (\(\alpha = |\angle CAB|\) oraz \(\beta = |\angle ABE|\)), otrzymujemy:
$$2\cdot|\angle ABE|=|\angle CAB|$$
Co należało dowieść.

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(A\).
Punkt \(A\) jest punktem przecięcia się prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\). Przyrównujemy do siebie równania tych prostych:
$$\frac{1}{2}x+9=4x-5 \\
14=3,5x \\
x=4$$

Podstawiamy obliczony \(x\) do dowolnego z równań, aby wyznaczyć współrzędną \(y\), zatem:
$$y=4\cdot4-5 \\
y=16-5 \\
y=11$$

Wierzchołek \(A\) ma więc współrzędne \(A=(4, 11)\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(B\).
Wiemy, że punkt \(K=(10, 14)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
$$x_K=\frac{x_A+x_B}{2} \\
10=\frac{4+x_B}{2} \\
20=4+x_B \\
x_B=16$$

$$y_K=\frac{y_A+y_B}{2} \\
14=\frac{11+y_B}{2} \\
28=11+y_B \\
y_B=17$$

Wierzchołek \(B\) ma współrzędne \(B=(16, 17)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(S\).
W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie swojej długości. Punkt \(S\) jest więc środkiem przekątnej \(BD\). Znamy współrzędne punktu \(B=(16, 17)\) oraz punktu \(D=(6, 19)\). Ponownie korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
$$x_S=\frac{x_B+x_D}{2} \\
x_S=\frac{16+6}{2} \\
x_S=\frac{22}{2} \\
x_S=11$$

$$y_S=\frac{y_B+y_D}{2} \\
y_S=\frac{17+19}{2} \\
y_S=\frac{36}{2} \\
y_S=18$$

Współrzędne punktu \(S\) to \((11, 18)\).

Krok 1. Obliczenie wysokości walca.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABD\). Znamy długość przeciwprostokątnej \(|BD|=4\sqrt{3}\) oraz miarę kąta \(|\angle ABD|=30^\circ\). Wysokość walca (\(H=|AD|\)) to przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta \(30^\circ\). Korzystając z funkcji sinus, możemy teraz zapisać, że:
$$\sin30^\circ=\frac{H}{|BD|} \\
\frac{1}{2}=\frac{H}{4\sqrt{3}} \\
2H=4\sqrt{3} \\
H=2\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie promienia podstawy.
Średnica podstawy (\(2r=|AB|\)) to przyprostokątna przyległa do kąta \(30^\circ\). Korzystamy z funkcji cosinus:
$$\cos30^\circ=\frac{2r}{|BD|} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2r}{4\sqrt{3}} \\
4r=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} \\
4r=12 \\
r=3$$

Krok 3. Obliczenie objętości walca.
Podstawiamy wyznaczone wartości do wzoru na objętość walca:
$$V=\pi r^2H \\
V=\pi\cdot3^2\cdot2\sqrt{3} \\
V=9\pi\cdot2\sqrt{3}=18\sqrt{3}\pi$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej walca.
Podstawiamy wartości do wzoru na pole całkowite:
$$P_c=2\pi r^2+2\pi rH \\
P_c=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3\cdot2\sqrt{3} \\
P_c=18\pi+12\sqrt{3}\pi \\
P_c=6\pi(3+2\sqrt{3})$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy bez zwracania dwie liczby ze zbioru sześcioelementowego. Pierwszą liczbę możemy wybrać na \(6\) sposobów, a drugą na \(5\) sposobów. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|\Omega|=6\cdot5=30$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzenie \(A\) polega na tym, że pierwsza liczba jest parzysta, a iloczyn obu liczb jest ostro większy od \(16\). Rozpatrzmy przypadki dla pierwszej wylosowanej liczby:
· Jeśli pierwsza liczba to \(2\) to szukamy drugiej liczby \(y\) takiej, że \(2\cdot y \gt 16\), czyli \(y \gt 8\). W naszym zbiorze nie ma takiej liczby.
· Jeśli pierwsza liczba to \(4\) to szukamy drugiej liczby \(y\) takiej, że \(4\cdot y \gt 16\), czyli \(y \gt 4\). Pasujące liczby ze zbioru to \(5, 6, 7\). Otrzymujemy \(3\) pary: \((4, 5), (4, 6), (4, 7)\).
· Jeśli pierwsza liczba to \(6\) to szukamy drugiej liczby \(y\) takiej, że \(6\cdot y \gt 16\), czyli \(y \gt \frac{16}{6} \approx 2,66\). Pasujące liczby to \(3, 4, 5, 7\) (pamiętamy, że losujemy bez zwracania, więc \(6\) odpada). Otrzymujemy \(4\) pary: \((6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 7)\).

Łączna liczba zdarzeń sprzyjających to w takim razie:
$$|A|=3+4=7$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{7}{30}$$

Krok 1. Zapisanie długości odcinków w zależności od \(x\).
Z treści zadania wiemy, że \(|CF|=x\). Z równania \(|CF|=\frac{1}{2}\cdot|EB|=x\) wynika, że \(|EB|=2x\). Bok kwadratu ma długość \(4\). Możemy zatem wyznaczyć długości pozostałych odcinków na bokach kwadratu:
$$|BF|=|BC|-|CF|=4-x \\
|AE|=|AB|-|EB|=4-2x$$

Krok 2. Wyznaczenie wzoru na pole trójkąta \(DEF\).
Pole trójkąta \(DEF\) najłatwiej obliczyć, odejmując od pola całego kwadratu \(ABCD\) pola trzech prostokątnych trójkątów znajdujących się w rogach kwadratu: \(\triangle ADE\), \(\triangle EBF\) oraz \(\triangle DCF\).

Pole kwadratu:
$$P_{ABCD}=4^2=16$$

Pola trójkątów prostokątnych:
$$P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot|AD|\cdot|AE|=\frac{1}{2}\cdot4\cdot(4-2x)=2(4-2x)=8-4x \\
P_{EBF}=\frac{1}{2}\cdot|EB|\cdot|BF|=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot(4-x)=x(4-x)=4x-x^2 \\
P_{DCF}=\frac{1}{2}\cdot|DC|\cdot|CF|=\frac{1}{2}\cdot4\cdot x=2x$$

Zapisujemy wzór funkcji \(P(x)\):
$$P(x)=16-(8-4x+4x-x^2+2x) \\
P(x)=16-(8+2x-x^2) \\
P(x)=x^2-2x+8$$

Krok 3. Wyznaczenie minimum funkcji.
Otrzymaliśmy funkcję kwadratową \(P(x)=x^2-2x+8\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (\(a=1 \gt 0\)), ramiona paraboli skierowane są w górę, a funkcja osiąga swoje minimum w wierzchołku. Obliczamy zatem współrzędną \(x\) wierzchołka paraboli (\(x_w\)):
$$x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 4. Sprawdzenie dziedziny.
Otrzymany wynik \(x=1\) należy do podanej w zadaniu dziedziny \(x \in (0, 2)\). Zatem dla \(x=1\) pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze.