Matura – Matematyka – Czerwiec 2026 – Odpowiedzi

C

Obliczamy wartości poszczególnych pierwiastków, a następnie wykonujemy działania arytmetyczne:
$$\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}=\frac{-4+3}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$$

C

Aby wykonać dzielenie potęg, sprowadzamy je do tej samej podstawy. Zauważ, że w odpowiedziach mamy potęgi o podstawie \(9\), więc zamienimy mianownik na potęgę liczby \(9\):
$$\frac{9^4}{3^{-20}}=\frac{9^4}{(3^2)^{-10}}= \\
=\frac{9^4}{9^{-10}}=9^{4-(-10)}=9^{4+10}=9^{14}$$

B

Korzystając z własności potęg i pierwiastków, zapisujemy liczbę logarytmowaną jako potęgę o podstawie \(5\), a następnie obliczamy logarytm:
$$\log_5\sqrt[3]{25}=\log_5(25^{\frac{1}{3}})= \\
=\log_5((5^2)^{\frac{1}{3}})=\log_5(5^{\frac{2}{3}})=\frac{2}{3}$$

A

Wyłączając wspólny czynnik \(x\) przed nawias, a następnie dostrzegając w nawiasie wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, otrzymamy:
$$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2$$

Wykazano, że liczba jest podzielna przez \(19\).

Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.
Wyłączając przed nawias czynnik \(7^n\), otrzymamy:
$$7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=7^n(1+7^1+7^2)=7^n(1+7+49)=7^n\cdot57$$

Krok 2. Uzasadnienie podzielności.
Zauważmy, że liczbę \(57\) możemy zapisać jako iloczyn \(19\cdot3\). Podstawiając to do naszego wyrażenia, otrzymamy:
$$7^n\cdot57=7^n\cdot3\cdot19$$

Ponieważ \(n \ge 0\) jest liczbą całkowitą, to \(7^n\cdot3\) również jest liczbą całkowitą. Zapisaliśmy naszą początkową liczbę jako iloczyn liczby \(19\) i pewnej liczby całkowitej, co stanowi dowód na to, że jest ona podzielna przez \(19\).

A

Podstawiając podane wzory wielomianów do wyrażenia i wykonując odpowiednie działania (najpierw mnożenie, potem odejmowanie), otrzymamy:
$$W(x)-V(x)\cdot H(x)=x^4-(x^3+1)(x-2)= \\
=x^4-(x^4-2x^3+x-2)=x^4-x^4+2x^3-x+2=2x^3-x+2$$

B

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Mamy nierówność kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej. Przyrównujemy czynniki do zera, aby znaleźć miejsca zerowe, otrzymując:
$$-2(x+3)(x-2)=0 \\
x+3=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=2$$

Krok 2. Odczytanie rozwiązania z wykresu.
---rysunek--- (szkic paraboli przecinającej oś OX w punktach -3 i 2, z ramionami skierowanymi w dół)
Współczynnik kierunkowy \(a=-2\) jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są w dół. Szukamy wartości większych od zera, zatem zerkamy na wykres nad osią \(OX\). Rozwiązaniem jest zatem przedział otwarty od \(-3\) do \(2\).

\(x=-\frac{3}{4}\)

Krok 1. Rozwiązanie równania wymiernego.
To równanie można rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie zacząć od tzw. mnożenia na krzyż:
$$3x(3x+4)=(x-1)(x+3) \\
9x^2+12x=x^2+3x-x-3 \\
9x^2+12x=x^2+2x-3 \\
8x^2+10x+3=0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=8,\;b=10,\;c=3\)
$$\Delta=10^2-4\cdot8\cdot3=100-96=4 \\
\sqrt{\Delta}=2$$

$$x_1=\frac{-10-2}{2\cdot8}=\frac{-12}{16}=-\frac{3}{4} \\
x_2=\frac{-10+2}{2\cdot8}=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z podanym przedziałem.
Oba rozwiązania nie wykluczają się z założeniami, ale to jeszcze nie oznacza, że obydwie odpowiedzi są poprawne. Musimy teraz sprawdzić, które z rozwiązań należy do przedziału \(\left(-\infty, -\frac{2}{3}\right)\). Dla ułatwienia sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (np. \(12\)), więc możemy uznać, że nasz analizowany przedział to \(\left(-\infty, -\frac{8}{12}\right)\), a nasze rozwiązania to \(x_1=-\frac{9}{12}\) oraz \(x_2=-\frac{6}{12}\). Widzimy zatem, że jedynie \(x_{1}\) należy do tego przedziału, stąd też jedynym rozwiązaniem tego zadania jest \(x=-\frac{3}{4}\).

D

Z pierwszego zdania wynika, że suma drzew iglastych i liściastych to \(198\), co daje nam równanie \(x+y=198\). Z drugiego zdania dowiadujemy się, że gdyby drzew iglastych było o \(18\) więcej (czyli \(x+18\)), to drzew liściastych (\(y\)) byłoby \(3\) razy więcej niż tych iglastych. Zapisujemy to jako \(y=3(x+18)\). Możemy zatem stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} x+y=198 \\ 3(x+18)=y \end{cases}$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest rosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni. W naszym przypadku \(a=3\), a ponieważ \(3 \gt 0\), funkcja jest rosnąca. Stwierdzenie jest prawdziwe.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, b)\). W naszym wzorze \(b=-4\), więc punktem przecięcia jest \((0, -4)\), a nie \((0, 4)\). Stwierdzenie jest fałszywe.

C

Skoro liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji, to znaczy, że dla argumentu \(x=2\) funkcja przyjmuje wartość \(0\). Podstawiamy te dane do wzoru funkcji i wyznaczamy \(k\):
$$f(2)=0 \\
2(2)^2-k(2)+6=0 \\
2\cdot4-2k+6=0 \\
8-2k+6=0 \\
14-2k=0 \\
2k=14 \\
k=7$$

\(a_2=\frac{34}{3}\)

Krok 1. Wyznaczenie czwartego wyrazu ciągu.
Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Podstawiamy znane dane (\(S_4=54\), \(n=4\), \(a_1=7\)), otrzymując:
$$54=\frac{7+a_4}{2}\cdot4 \\
54=(7+a_4)\cdot2 \\
27=7+a_4 \\
a_4=20$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu i drugiego wyrazu.
Znając pierwszy i czwarty wyraz, możemy wyznaczyć różnicę \(r\) tego ciągu:
$$a_4=a_1+3r \\
20=7+3r \\
13=3r \\
r=\frac{13}{3}$$

Krok 3. Obliczenie wartości drugiego wyrazu.
Mając różnicę i znając wartość pierwszego wyrazu, bez problemu obliczymy drugi wyraz tego ciągu:
$$a_2=a_1+r \\
a_2=7+\frac{13}{3} \\
a_2=\frac{21}{3}+\frac{13}{3} \\
a_2=\frac{34}{3} \\
a_2=11\frac{1}{3}$$

C

W ciągu geometrycznym zachodzi własność, według której iloczyn wyrazów równoodległych od środkowego wyrazu jest równy kwadratowi tego środkowego wyrazu. W naszym pięciowyrazowym ciągu środkowym wyrazem jest \(a_3=2\), zatem:
$$a_2\cdot a_4=(a_3)^2=2^2=4$$

oraz:
$$a_1\cdot a_5=(a_3)^2=2^2=4$$

Podstawiamy te wartości do szukanego iloczynu:
$$a_1\cdot a_2\cdot2\cdot a_4\cdot a_5= \\
=(a_1\cdot a_5)\cdot(a_2\cdot a_4)\cdot2= \\
=4\cdot4\cdot2=32$$

B

Krok 1. Obliczenie długości jednej z przyprostokątnych.
Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta (oznaczmy ją jako \(a\)) do długości przeciwprostokątnej (\(c=8\)).
$$\sin\alpha=\frac{a}{c} \\
\frac{1}{4}=\frac{a}{8} \\
4a=8 \\
a=2$$

Krok 2. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Teraz skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby wyznaczyć długość drugiej przyprostokątnej (\(b\)), czyli:
$$a^2+b^2=c^2 \\
2^2+b^2=8^2 \\
4+b^2=64 \\
b^2=60 \\
b=\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot15}=2\sqrt{15}$$

Krok 3. Wybór krótszej przyprostokątnej.
Mamy dwie przyprostokątne o długościach \(2\) oraz \(2\sqrt{15}\). Ponieważ \(\sqrt{15}\) to prawie \(4\), to \(2\sqrt{15}\) jest znacznie większe od \(2\). Krótsza przyprostokątna ma zatem długość \(2\).

C

Kąt \(BAD\) jest kątem wpisanym opartym na półokręgu (ponieważ \(BD\) to średnica), więc jest to kąt prosty. To oznacza, że trójkąt \(ABD\) jest prostokątny. Suma miar kątów w trójkącie wynosi \(180^\circ\), więc możemy obliczyć miarę kąta \(ADB\):
$$|\angle ADB|=180^\circ-90^\circ-18^\circ=72^\circ$$

Zauważmy teraz, że kąt \(ADB\) oraz szukany kąt \(BCA\) to kąty wpisane oparte na tym samym łuku \(AB\). Zgodnie z twierdzeniem o kątach wpisanych, ich miary muszą być równe.
Zatem \(|\angle BCA|=|\angle ADB|=72^\circ\).

B

Korzystamy z twierdzenia Talesa (lub z podobieństwa trójkątów \(ABC\) i \(ADE\)). Stosunek długości boku \(BC\) do boku \(AB\) w małym trójkącie jest równy stosunkowi długości boku \(DE\) do boku \(AD\) w dużym trójkącie. Długość boku \(AD\) to suma długości odcinków \(AB\) i \(BD\), zatem:
$$|AD|=6+2 \\
|AD|=8$$

Układamy proporcję:
$$\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{|DE|}{|AD|} \\
\frac{4}{6}=\frac{|DE|}{8} \\
6\cdot|DE|=32 \\
|DE|=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}$$

Udowodniono, korzystając z własności trójkątów.

Krok 1. Zauważenie własności środkowej w trójkącie prostokątnym.
Odcinek \(CD\) jest wysokością, więc trójkąt \(ADC\) jest trójkątem prostokątnym. Odcinek \(BE\) jest środkową trójkąta \(ABC\), co oznacza, że punkt \(E\) dzieli bok \(AC\) na dwie równe części (\(AE = EC\)).
W trójkącie prostokątnym \(ADC\) odcinek \(DE\) jest środkową poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną \(AC\). Z własności tej środkowej wynika, że jej długość jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, czyli:
$$|DE|=|AE|=|EC|$$

Krok 2. Wykorzystanie własności trójkątów równoramiennych.
Z treści zadania wiemy, że \(|DB| = |DE|\). Łącząc to z poprzednim wnioskiem, otrzymujemy:
$$|AE|=|DE|=|DB|$$

Rozpatrzmy trójkąt \(ADE\). Ponieważ \(|AE| = |DE|\), jest to trójkąt równoramienny. Kąty przy jego podstawie \(AD\) mają równe miary. Oznaczmy miarę kąta \(CAB\) (czyli kąta \(DAE\)) jako \(\alpha\). Wtedy:
$$|\angle ADE|=\alpha$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ABE\).
Kąt \(BDE\) i kąt \(ADE\) są kątami przyległymi, więc ich suma wynosi \(180^\circ\). Zatem:
$$|\angle BDE|=180^\circ-\alpha$$

Rozpatrzmy teraz trójkąt \(BDE\). Z treści zadania wiemy, że \(|DB| = |DE|\), więc jest to również trójkąt równoramienny. Kąty przy jego podstawie \(BE\) są równe. Oznaczmy miarę kąta \(ABE\) (czyli kąta \(DBE\)) jako \(\beta\). Wtedy:
$$|\angle DEB|=\beta$$

Suma miar kątów w trójkącie \(BDE\) wynosi \(180^\circ\), co pozwala nam zapisać równanie:
$$|\angle BDE|+|\angle DBE|+|\angle DEB|=180^\circ \\
(180^\circ-\alpha)+\beta+\beta=180^\circ \\
180^\circ-\alpha+2\beta=180^\circ \\
2\beta=\alpha$$

Podstawiając z powrotem nasze oznaczenia (\(\alpha = |\angle CAB|\) oraz \(\beta = |\angle ABE|\)), otrzymujemy:
$$2\cdot|\angle ABE|=|\angle CAB|$$
Co należało dowieść.

A

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby wyznaczyć wartość cosinusa:
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \\
\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1 \\
\frac{9}{25}+\cos^2\alpha=1 \\
\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25} \\
\cos^2\alpha=\frac{16}{25}$$

Z tego równania otrzymujemy dwa możliwe rozwiązania: \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\) lub \(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\). Z treści zadania wiemy, że kąt \(\alpha\) jest rozwarty, a dla takich kątów cosinus przyjmuje wartości ujemne, zatem poprawnym rozwiązaniem jest \(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\).

\(S=(11, 18)\)

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(A\).
Punkt \(A\) jest punktem przecięcia się prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\). Przyrównujemy do siebie równania tych prostych:
$$\frac{1}{2}x+9=4x-5 \\
14=3,5x \\
x=4$$

Podstawiamy obliczony \(x\) do dowolnego z równań, aby wyznaczyć współrzędną \(y\), zatem:
$$y=4\cdot4-5 \\
y=16-5 \\
y=11$$

Wierzchołek \(A\) ma więc współrzędne \(A=(4, 11)\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(B\).
Wiemy, że punkt \(K=(10, 14)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
$$x_K=\frac{x_A+x_B}{2} \\
10=\frac{4+x_B}{2} \\
20=4+x_B \\
x_B=16$$

$$y_K=\frac{y_A+y_B}{2} \\
14=\frac{11+y_B}{2} \\
28=11+y_B \\
y_B=17$$

Wierzchołek \(B\) ma współrzędne \(B=(16, 17)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(S\).
W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie swojej długości. Punkt \(S\) jest więc środkiem przekątnej \(BD\). Znamy współrzędne punktu \(B=(16, 17)\) oraz punktu \(D=(6, 19)\). Ponownie korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
$$x_S=\frac{x_B+x_D}{2} \\
x_S=\frac{16+6}{2} \\
x_S=\frac{22}{2} \\
x_S=11$$

$$y_S=\frac{y_B+y_D}{2} \\
y_S=\frac{17+19}{2} \\
y_S=\frac{36}{2} \\
y_S=18$$

Współrzędne punktu \(S\) to \((11, 18)\).

B

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Bok kwadratu to odcinek \(AB\). Obliczmy jego długość ze wzoru na odległość dwóch punktów:
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \\
|AB|=\sqrt{(1-(-3))^2+(-3-1)^2} \\
|AB|=\sqrt{4^2+(-4)^2} \\
|AB|=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu kwadratu.
Kwadrat ma cztery boki równej długości, więc jego obwód wynosi:
$$Obw=4\cdot|AB| \\
Obw=4\cdot4\sqrt{2} \\
Obw=16\sqrt{2}$$

C

Krok 1. Wyznaczenie środka okręgu.
Środek okręgu \(S\) jest środkiem średnicy \(AB\). Obliczmy jego współrzędne:
$$x_S=\frac{1+3}{2} \\
x_S=\frac{4}{2} \\
x_S=2$$

$$y_S=\frac{1+(-1)}{2} \\
y_S=\frac{0}{2} \\
y_S=0$$

Środek okręgu to \(S=(2, 0)\).

Krok 2. Wyznaczenie promienia okręgu.
Promień \(r\) to odległość od środka \(S\) do punktu na okręgu, np. \(A\):
$$r=|SA| \\
r=\sqrt{(1-2)^2+(1-0)^2} \\
r=\sqrt{(-1)^2+1^2} \\
r=\sqrt{1+1} \\
r=\sqrt{2}$$

Zatem \(r^2=2\).

Krok 3. Zapisanie równania okręgu.
Równanie okręgu o środku \((a, b)\) i promieniu \(r\) ma postać \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Podstawiając nasze dane, otrzymamy:
$$(x-2)^2+(y-0)^2=2 \\
(x-2)^2+y^2=2$$

D

Krok 1. Analiza podstawy ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Bok tego kwadratu wynosi \(a=12\). Przekątna podstawy (kwadratu) ma długość \(d=a\sqrt{2}=12\sqrt{2}\). Wysokość ostrosłupa opada dokładnie na środek podstawy, czyli na punkt przecięcia się przekątnych. Połowa przekątnej podstawy to \(\frac{1}{2}d=6\sqrt{2}\).

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Tworzymy trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątnymi są wysokość ostrosłupa (\(H\)) oraz połowa przekątnej podstawy (\(6\sqrt{2}\)), a przeciwprostokątną jest krawędź boczna (\(b=12\)). Z twierdzenia Pitagorasa wynika więc, że:
$$H^2+(6\sqrt{2})^2=12^2 \\
H^2+36\cdot2=144 \\
H^2+72=144 \\
H^2=72 \\
H=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obliczamy pole podstawy (\(P_p\)) i pole powierzchni bocznej (\(P_b\)) stożka, wiedząc, że promień \(r=3\), a tworząca \(l=6\).
$$P_p=\pi r^2=\pi\cdot3^2=9\pi \\
P_b=\pi rl=\pi\cdot3\cdot6=18\pi$$
Widzimy, że \(18\pi\) to dokładnie dwa razy więcej niż \(9\pi\). Stwierdzenie jest prawdziwe.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, którego ramionami są tworzące stożka (\(l=6\)), a podstawą jest średnica podstawy stożka (\(2r=2\cdot3=6\)).
Ponieważ wszystkie trzy boki tego trójkąta mają długość \(6\), jest to trójkąt równoboczny. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miarę \(60^\circ\). Kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącymi w przekroju osiowym, więc wynosi on \(60^\circ\). Stwierdzenie jest prawdziwe.

\(V=18\sqrt{3}\pi\), \(P_c=18\pi+12\sqrt{3}\pi\)

Krok 1. Obliczenie wysokości walca.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABD\). Znamy długość przeciwprostokątnej \(|BD|=4\sqrt{3}\) oraz miarę kąta \(|\angle ABD|=30^\circ\). Wysokość walca (\(H=|AD|\)) to przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta \(30^\circ\). Korzystając z funkcji sinus, możemy teraz zapisać, że:
$$\sin30^\circ=\frac{H}{|BD|} \\
\frac{1}{2}=\frac{H}{4\sqrt{3}} \\
2H=4\sqrt{3} \\
H=2\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie promienia podstawy.
Średnica podstawy (\(2r=|AB|\)) to przyprostokątna przyległa do kąta \(30^\circ\). Korzystamy z funkcji cosinus:
$$\cos30^\circ=\frac{2r}{|BD|} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2r}{4\sqrt{3}} \\
4r=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} \\
4r=12 \\
r=3$$

Krok 3. Obliczenie objętości walca.
Podstawiamy wyznaczone wartości do wzoru na objętość walca:
$$V=\pi r^2H \\
V=\pi\cdot3^2\cdot2\sqrt{3} \\
V=9\pi\cdot2\sqrt{3}=18\sqrt{3}\pi$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej walca.
Podstawiamy wartości do wzoru na pole całkowite:
$$P_c=2\pi r^2+2\pi rH \\
P_c=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3\cdot2\sqrt{3} \\
P_c=18\pi+12\sqrt{3}\pi \\
P_c=6\pi(3+2\sqrt{3})$$

A

Tworzymy liczbę czterocyfrową. Liczba ma być parzysta, więc cyfra jedności musi być parzysta. Możliwe opcje to: \(0, 2, 4, 6, 8\). Z treści zadania wiemy, że cyfra tysięcy musi być równa cyfrze jedności. Teoretycznie powinno być więc pięć możliwości uzupełnienia tej cyfry, ale musimy jeszcze zauważyć, że cyfra tysięcy nie może być zerem (wtedy liczba nie byłaby czterocyfrowa). Zatem cyfra jedności i cyfra tysięcy mogą przyjąć tylko jedną z \(4\) wartości: \(2, 4, 6, 8\). Wybór cyfry jedności automatycznie determinuje cyfrę tysięcy (mamy \(4\) takie pary).

Z pozostałymi cyframi nie ma już większego problemu:
· cyfra setek może być dowolną cyfrą od \(0\) do \(9\) (mamy \(10\) możliwości).
· cyfra dziesiątek również może być dowolną cyfrą od \(0\) do \(9\) (mamy \(10\) możliwości).

Zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich takich liczb jest zatem:
$$4\cdot10\cdot10=400$$

A

Oznaczmy liczbę uczniów w drugiej szkole jako \(x\). Wtedy liczba uczniów w pierwszej szkole to \(3x\). W takim razie:
· Suma lat wszystkich uczniów w pierwszej szkole to \(3x\cdot9=27x\)
· Suma lat wszystkich uczniów w drugiej szkole to \(x\cdot13=13x\)

Łączna suma lat wszystkich uczniów w obu szkołach wynosi \(27x+13x=40x\). Łączna liczba uczniów w obu szkołach to \(3x+x=4x\). Średnia arytmetyczna dla wszystkich uczniów wyniesie zatem:
$$śr=\frac{40x}{4x} \\
śr=10$$

C

Krok 1. Zliczenie wszystkich uczniów.
Z diagramu odczytujemy liczbę uczniów, którzy otrzymali poszczególne oceny:
Ocena 1: \(2\) uczniów
Ocena 2: \(1\) uczeń
Ocena 3: \(6\) uczniów
Ocena 4: \(5\) uczniów
Ocena 5: \(7\) uczniów
Ocena 6: \(5\) uczniów
Łączna liczba uczniów to: \(2+1+6+5+7+5=26\).

Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Mamy parzystą liczbę danych (\(26\)), więc mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wartości, czyli wartości na pozycji \(13.\) i \(14.\) w uporządkowanym rosnąco ciągu ocen. Sumujemy uczniów od najniższych ocen:
Oceny 1 i 2 to łącznie \(3\) uczniów.
Oceny 1, 2 i 3 to łącznie \(3+6=9\) uczniów.
Oceny 1, 2, 3 i 4 to łącznie \(9+5=14\) uczniów.
Widzimy, że uczeń na pozycji \(13.\) oraz uczeń na pozycji \(14.\) otrzymali ocenę \(4\).
Mediana wynosi zatem:
$$m=\frac{4+4}{2} \\
m=4$$

\(P(A)=\frac{7}{30}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy bez zwracania dwie liczby ze zbioru sześcioelementowego. Pierwszą liczbę możemy wybrać na \(6\) sposobów, a drugą na \(5\) sposobów. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|\Omega|=6\cdot5=30$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzenie \(A\) polega na tym, że pierwsza liczba jest parzysta, a iloczyn obu liczb jest ostro większy od \(16\). Rozpatrzmy przypadki dla pierwszej wylosowanej liczby:
· Jeśli pierwsza liczba to \(2\) to szukamy drugiej liczby \(y\) takiej, że \(2\cdot y \gt 16\), czyli \(y \gt 8\). W naszym zbiorze nie ma takiej liczby.
· Jeśli pierwsza liczba to \(4\) to szukamy drugiej liczby \(y\) takiej, że \(4\cdot y \gt 16\), czyli \(y \gt 4\). Pasujące liczby ze zbioru to \(5, 6, 7\). Otrzymujemy \(3\) pary: \((4, 5), (4, 6), (4, 7)\).
· Jeśli pierwsza liczba to \(6\) to szukamy drugiej liczby \(y\) takiej, że \(6\cdot y \gt 16\), czyli \(y \gt \frac{16}{6} \approx 2,66\). Pasujące liczby to \(3, 4, 5, 7\) (pamiętamy, że losujemy bez zwracania, więc \(6\) odpada). Otrzymujemy \(4\) pary: \((6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 7)\).

Łączna liczba zdarzeń sprzyjających to w takim razie:
$$|A|=3+4=7$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{7}{30}$$

Wzór funkcji to \(P(x)=x^2-2x+8\). Pole trójkąta jest najmniejsze dla \(x=1\).

Krok 1. Zapisanie długości odcinków w zależności od \(x\).
Z treści zadania wiemy, że \(|CF|=x\). Z równania \(|CF|=\frac{1}{2}\cdot|EB|=x\) wynika, że \(|EB|=2x\). Bok kwadratu ma długość \(4\). Możemy zatem wyznaczyć długości pozostałych odcinków na bokach kwadratu:
$$|BF|=|BC|-|CF|=4-x \\
|AE|=|AB|-|EB|=4-2x$$

Krok 2. Wyznaczenie wzoru na pole trójkąta \(DEF\).
Pole trójkąta \(DEF\) najłatwiej obliczyć, odejmując od pola całego kwadratu \(ABCD\) pola trzech prostokątnych trójkątów znajdujących się w rogach kwadratu: \(\triangle ADE\), \(\triangle EBF\) oraz \(\triangle DCF\).

Pole kwadratu:
$$P_{ABCD}=4^2=16$$

Pola trójkątów prostokątnych:
$$P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot|AD|\cdot|AE|=\frac{1}{2}\cdot4\cdot(4-2x)=2(4-2x)=8-4x \\
P_{EBF}=\frac{1}{2}\cdot|EB|\cdot|BF|=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot(4-x)=x(4-x)=4x-x^2 \\
P_{DCF}=\frac{1}{2}\cdot|DC|\cdot|CF|=\frac{1}{2}\cdot4\cdot x=2x$$

Zapisujemy wzór funkcji \(P(x)\):
$$P(x)=16-(8-4x+4x-x^2+2x) \\
P(x)=16-(8+2x-x^2) \\
P(x)=x^2-2x+8$$

Krok 3. Wyznaczenie minimum funkcji.
Otrzymaliśmy funkcję kwadratową \(P(x)=x^2-2x+8\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (\(a=1 \gt 0\)), ramiona paraboli skierowane są w górę, a funkcja osiąga swoje minimum w wierzchołku. Obliczamy zatem współrzędną \(x\) wierzchołka paraboli (\(x_w\)):
$$x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 4. Sprawdzenie dziedziny.
Otrzymany wynik \(x=1\) należy do podanej w zadaniu dziedziny \(x \in (0, 2)\). Zatem dla \(x=1\) pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze.