Matura – Matematyka – Czerwiec 2025 – Odpowiedzi

B

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Stosując standardowy mechanizm rozwiązywania równań z wartością bezwzględną, otrzymamy następującą sytuację:
$$x-6=4 \quad\land\quad x-6=-4 \\
x=10 \quad\land\quad x=2$$

Krok 2. Obliczenie iloczynu rozwiązań.
Wyszło nam, że \(x_{1}=10\) oraz \(x_{2}=2\), zatem iloczyn \(x_{1}\cdot x_{2}\) jest równy:
$$10\cdot2=20$$

B

Korzystając z działań na pierwiastkach i potęgach, możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$2^8\cdot8^{\frac{2}{3}}=2^8\cdot2^{3\cdot\frac{2}{3}}=2^8\cdot2^2=2^{8+2}=2^{10}$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$2\cdot log_{3}5=log_{3}5^2=log_{3}25$$

To oznacza, że zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Ponownie skorzystamy z działań na logarytmach. W tym celu musimy zamienić liczbę \(2\) na \(log_{3}9\) (dzięki czemu otrzymamy dodawanie logarytmów o jednakowej podstawie) i wtedy otrzymamy następującą sytuację:
$$2+log_{3}5=log_{3}9+log_{3}5=log_{3}(9\cdot5)=log_{3}45$$

To oznacza, że zdanie jest fałszem.

D

W zadaniu musimy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Całą liczbę rozpisalibyśmy więc w następujący sposób:
$$(\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}=3+2\sqrt{3}+1-\sqrt{4\cdot3}=4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4$$

Udowodniono rozpisując całą liczbę i wyłączając \(5\) przez nawias.

Liczbę \(a\) moglibyśmy zapisać jako \(5x+1\), z kolei liczbę \(b\) jako \(5y+4\) (gdzie \(x\) oraz \(y\) są liczbami całkowitymi). Podstawiając teraz te wyrażenia do zapisu \(a^2-b^2\) i korzystając tutaj ze wzorów skróconego mnożenia, otrzymamy:
$$(5x+1)^2-(5y+4)^2= \\
=25x^2+10x+1-(25y^2+40y+16)= \\
=25x^2+10x+1-25y^2-40y-16= \\
=25x^2+10x-25y^2-40y-15= \\
=5\cdot(5x^2+2x-5y^2-8y-3)$$

Wartość w nawiasie jest na pewno liczbą całkowitą, a piątka wyciągnięta przed nawias oznacza, że całe wyrażenie na pewno będzie podzielne przez \(5\), co należało udowodnić.

C

Rozwiązując nierówność dobrze byłoby od razu całość wymnożyć przez \(2\), tak aby pozbyć się ułamka. Tutaj trzeba jednak pamiętać, że skoro po lewej stronie mamy odejmowanie, to przez \(2\) trzeba będzie przemnożyć nie tylko ten ułamek, ale także ósemkę stojącą z przodu. Obliczenia będą więc wyglądać następująco:
$$8-\dfrac{1-2x}{2}\ge3x \quad\bigg/\cdot2 \\
16-(1-2x)\ge6x \\
16-1+2x\ge6x \\
15\ge4x \\
\frac{15}{4}\ge x \\
x\le3,75$$

Największą liczbą całkowitą, którą spełnia tę nierówność będzie w takim razie liczba \(3\).

B

Aby wyrażenie stojące po lewej stronie równania było równe \(0\), to któryś z nawiasów musi być równy \(0\). W związku wystarczy przyrównać wyrażenia z nawiasów do \(0\) i sprawdzić jakie otrzymamy wyniki:
$$4(x-1)^2(x^2-25)=0 \\
x-1=0 \quad\lor\quad x^2-25=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x^2=25 \\
x=1 \quad\lor\quad x=5 \quad\lor\quad x=-5$$

Wyszło nam więc, że to równanie ma dokładnie trzy rozwiązania.

\(850\) drzew

Krok 1. Zapisanie równań.
Oznaczmy liczbę drzew w pierwszym sadzie jako \(x\) oraz w drugim sadzie jako \(y\). Z treści zadania wiemy, że łącznie jest to \(1410\) drzew, zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$x+y=1410$$

Na podstawie informacji o uschniętych drzewach możemy też ułożyć drugie równanie:
$$0,85y=0,7\cdot0,8x \\
0,85y=0,56x$$

Krok 2. Budowa i rozwiązanie układu równań.
Z tych dwóch równań możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x+y=1410 \\
0,85y=0,56x
\end{cases}

Układ możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie chyba zastosować tutaj metodę podstawiania, ponieważ z pierwszego równania wprost wynika, że \(y=1410-x\). Podstawiając to wyrażenie do drugiego równania, otrzymamy:
$$0,85\cdot(1410-x)=0,56x \\
1198,5-0,85x=0,56x \\
1198,5=1,41x \\
x=850$$

\(x\in(-2;-1)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$x(x+4)\lt x-2 \\
x^2+4x\lt x-2 \\
x^2+3x+2\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=3,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+1}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-2\) oraz \(x=-1\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in(-2;-1)$$

1. \((-5,3]\)
2. \([0,3]\)
3. \([-2,1]\)
4. \((-3,1]\)

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(Ox\). Widzimy, że funkcja przyjmuje swoje wartości od argumentu \(x=-5\) (kropka niezamalowana), aż do argumentu \(x=3\) (kropka zamalowana). Stąd też dziedziną funkcji będzie przedział \((-5,3]\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od \(0\) aż do \(3\). Stąd też zbiorem wartości funkcji będzie przedział \([0,3]\).

Krok 3. Rozwiązanie trzeciej części zadania.
Miejsca zerowe to takie argumenty \(x\) dla których funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy na wykresie miejsc, gdzie wykres pokrywa się z osią \(Ox\) i widzimy, że dzieje się tak dla przedziału \([-2,1]\).

Krok 4. Rozwiązanie czwartej części zadania.
Celem zadania jest sprawdzenie kiedy funkcja przyjmuje wartości mniejsze od \(-3\). Widzimy, że dzieje się tak dla argumentów od \(-3\) aż do \(1\) włącznie. Rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie przedział \((-3,1]\).

D

Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Musimy więc sprawdzić, kiedy \(\frac{1}{2}x-k\) będzie równe \(0\), zatem należy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{1}{2}x-k=0 \\
\frac{1}{2}x=k$$

Wiemy, że \(x\) jest liczbą większą od \(2\). Gdyby \(x\) był równy \(2\), to \(k\) byłoby równe \(\frac{1}{2}\cdot2=1\). Skoro więc \(x\) ma być większy od \(2\), to tym samym \(k\) będzie liczbą większą od \(1\). Tym samym możemy stwierdzić, że liczba \(k\) należy do przedziału \((1, +\infty)\).

A

Korzystając z własności przesunięć i przekształceń wykresów funkcji wiemy, że funkcją powstałą w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)=5x\) o jedną jednostkę w prawo, będzie funkcja \(g(x)=5(x-1)\). Takiej odpowiedzi wśród proponowanych nie mamy, ale wymnażając tę piątkę stojącą przed nawiasem, otrzymamy:
$$g(x)=5(x-1)=5x-5$$

\(f(x)=3(x+1)^2-12\)

Krok 1. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Jedną z własności parabol jest fakt, iż miejsca zerowe są oddalone o jednakową odległość od osi symetrii. Wiemy, że osią symetrii jest prosta o równaniu \(x=-1\), a więc pierwsze miejsce zerowe \(x=1\) jest oddalone o \(2\) jednostki w prawo. W takim razie drugie miejsce zerowe będzie oddalone o dwie jednostki w lewo, czyli tym samym będzie to \(x=-3\).


Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Znając miejsca zerowe, możemy przystąpić do zapisania wzoru funkcji w postaci iloczynowej:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\
f(x)=a(x-1)(x-(-3)) \\
f(x)=a(x-1)(x+3)$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika kierunkowego \(a\). Poznamy go podstawiając współrzędne punktu, przez który przechodzi wykres tej funkcji, czyli \((2,15)\). W takim razie:
$$15=a\cdot(2-1)\cdot(2+3) \\
15=a\cdot1\cdot5 \\
15=5a \\
a=3$$

Tym samym nasza funkcja będzie się wyrażać wzorem:
$$f(x)=3(x-1)(x+3)$$

Krok 3. Wyznaczenie wierzchołka paraboli.
Do zapisania postaci kanonicznej będziemy potrzebować współrzędnych wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\). Tutaj od razu możemy stwierdzić, że pierwsza współrzędna musi pokrywać się z osią symetrii, ponieważ ta oś zawsze przechodzi przez wierzchołek, a więc od razu możemy zapisać, że \(p=-1\). Chcąc poznać współrzędną \(q\), wystarczy podstawić teraz \(x=-1\) do wzoru naszej funkcji, zatem:
$$f(-1)=3\cdot(-1-1)\cdot(-1+3) \\
f(-1)=3\cdot(-2)\cdot2 \\
f(-1)=-12$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(W=(-1,-12)\).

Krok 4. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Postać kanoniczną zapisujemy jako:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Znając współrzędne wierzchołka paraboli i wiedząc, że \(a=3\), możemy przystąpić do zapisania wzoru w postaci kanonicznej:
$$f(x)=3(x-(-1))^2+(-12) \\
f(x)=3(x+1)^2-12$$

C

Krok 1. Zapisanie równania.
W zadaniu wykorzystamy zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając teraz wartości z treści zadania, otrzymamy"
$$m^2=4\cdot(m-1) \\
m^2=4m-4 \\
m^2-4m+4=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem chcąc je rozwiązać możemy skorzystać z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$$

Delta wyszła równa \(0\), więc nasze równanie będzie mieć tylko jedno rozwiązanie:
$$x_{1}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

C

Rozpisując naszą liczbę i korzystając z jedynki trygonometrycznej, otrzymamy taką oto sytuację:
$$\frac{sin^3 25°+sin25°\cdot cos^2 25°}{cos25°}= \\
=\frac{sin^2 25°\cdot sin25°+sin25°\cdot cos^2 25°}{cos25°}= \\
=\frac{sin25°\cdot(sin^2 25°+cos^2 25°)}{cos25°}= \\
=\frac{sin25°\cdot1}{cos25°}= \\
=\frac{sin25°}{cos25°}=tg25°$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Moglibyśmy podejść do tego zadania na różne sposoby, ale chyba takim najciekawszym byłoby wykorzystanie tutaj jedynki trygonometrycznej - zdanie będzie prawdą tylko wtedy, gdy \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Sprawdźmy zatem ile będzie równy \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) w przypadku gdy \(sin\alpha=\frac{4}{7}\) i gdy \(cos\alpha=\frac{3}{7}\):
$$\left(\frac{4}{7}\right)^2+\left(\frac{3}{7}\right)^2=\frac{16}{49}+\frac{9}{49}=\frac{25}{49}$$

Otrzymana wartość nie jest równa \(1\), a to oznacza, że wartość cosinusa nie jest podana prawidłowo, więc zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
My już z własności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym powinniśmy kojarzyć, że to zdanie jest prawdą. Bardzo dobrze widać to, gdy oznaczylibyśmy sobie długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(\alpha\) jako \(4x\) i przeciwprostokątną jako \(7x\), co dałoby nam właśnie \(sin\alpha=\frac{4}{7}\).

W takim układzie cosinus kąta \(\beta\) będzie równy właśnie \(\frac{4x}{7x}=\frac{4}{7}\), zatem zdanie jest prawdą.

C

Krok 1. Obliczenie miary kąta środkowego \(ASD\).
Okrąg został podzielony na \(10\) równych części, a kąt środkowy opiera się na trzech takich cząstkach. Z własności kątów środkowych wiemy, że w takim układzie kąt środkowy \(ASD\) będzie miał \(\frac{3}{10}\) miary kąta pełnego, zatem:
$$|\sphericalangle ASD|=\frac{3}{10}\cdot360°=108°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta wpisanego \(AGD\).
Kąt wpisany \(AGD\) jest oparty na tym samym łuku co nasz kąt środkowy \(ASD\), zatem zgodnie z własnościami kątów wpisanych, jego miara będzie dwukrotnie mniejsza:
$$|\sphericalangle AGD|=$108°:2=54°$$

A

Jeżeli przyjmiemy, że długość boku kwadratu \(K_{1}\) jest równa \(x\), to tym samym kwadrat \(K_{2}\) będzie miał bok o długości \(5x\). Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$x^2+(5x)^2=78 \\
x^2+25x^2=78 \\
26x^2=78 \\
x^2=3 \\
x=\sqrt{3} \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość boku kwadratu musi być dodatnia, zatem zostaje nam informacja, że bok kwadratu \(K_{1}\) jest równy \(\sqrt{3}\).

\(p=\frac{6}{5}\)

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Skoro prosta \(k\) ma ten współczynnik równy \(5\), to i prosta \(l\) będzie mieć współczynnik \(a=5\). Tym samym moglibyśmy zapisać prosta \(l\) będzie wyrażać się równaniem \(y=5x+b\).

Wiemy też, że prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\). Z własności funkcji liniowych możemy już wywnioskować, że w takim razie współczynnik \(b=-4\). Do tej samej wiadomości doszlibyśmy oczywiście podstawiając \(x=0\) oraz \(y=-4\) do wyznaczonego przed chwilą równania:
$$-4=5\cdot0+b \\
-4=0+b \\
b=-4$$

To oznacza, że nasza prosta \(l\) wyraża się równaniem \(y=5x-4\).

Skoro punkt o współrzędnych \((p,2)\) należy do prostej \(l\) to możemy pod współrzędną \(x\) podstawić \(p\) oraz pod współrzędną \(y\) podstawić \(2\). Otrzymamy wtedy:
$$2=5\cdot p-4 \\
6=5p \\
p=\frac{6}{5}$$

D

Krok 1. Odczytanie współrzędnych środka okręgu \(O\).
Okrąg o środku w punkcie \(S=x_{S}, y_{S}\) i promieniu \(r\) możemy opisać równaniem:
$$(x-x_{S})^2+(y-y_{S})^2=r^2$$

W takim razie możemy z treści zadania odczytać współrzędne środka okręgu \(O\):
$$(x+1)^2+(y-2)^2=9 \\
(x-(-1))^2+(y-2)^2=9$$

Widzimy wyraźnie, że środkiem będzie punkt \(S=(-1,2)\).

Krok 2. Ustalenie współrzędnych środka okręgu \(K\).
Skoro okrąg \(K\) powstał w wyniku przekształcenia okręgu \(O\) względem osi \(Oy\) (czyli jest tak jakby odbiciem lustrzanym względem osi \(Oy\)), to znaczy że współrzędna \(x\) środka tego okręgu musi mieć zmieniony znak na przeciwny, a współrzędna \(y\) będzie niezmieniona. To prowadzi nas do wniosku, że w okręgu \(K\) środkiem będzie punkt o współrzędnych:
$$S_{K}=(1,2)$$

Krok 3. Zapisanie równania okręgu \(K\).
Wiemy już, że okrąg ma ma swój środek w punkcie o współrzędnych \(S_{K}=(1,2)\). Promień okręgu nie uległ zmianie, więc \(r^2\) będzie takie samo jak w pierwszym okręgu \(O\). To oznacza, że okrąg \(K\) jest określony równaniem:
$$(x-1)^2+(y-2)^2=9$$

\(V=27\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Skoro długości krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(q=4\), to moglibyśmy zapisać, że długości krawędzi wyglądają następująco:
Pierwsza krawedź: \(x\)
Druga krawedź: \(4x\)
Trzecia krawedź: \(16x\)

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Pole powierzchni całkowitej obliczamy ze wzoru:
$$P_{c}=2ab+2ac+2bc$$

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe \(94,5\), zatem podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
$$2\cdot x\cdot4x+2\cdot x\cdot16x+2\cdot4x\cdot16x=94,5 \\
8x^2+32x^2+128x^2=94,5 \\
168x^2=94,5 \\
x^2=0,5625 \\
x=0,75 \quad\lor\quad x=-0,75$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ długość krawędzi musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(x=0,75\).

Tym samym możemy stwierdzić, że pierwsza krawędź prostopadłościanu ma długość \(0,75\), druga ma \(4\cdot0,75=3\), a trzecia ma \(16\cdot0,75=12\).

Krok 3. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając długości wszystkich trzech krawędzi prostopadłościanu, możemy już bez problemu obliczyć objętość tej bryły:
$$V=abc \\
V=0,75\cdot3\cdot12 \\
V=27$$

A

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
Jeżeli przyjmiemy, że pole podstawy jest równe \(x\), to tym samym pole powierzchni bocznej zgodnie z treścią zadania będzie równe \(4x\). Pole powierzchni całkowitej ma być równe \(20\), więc możemy zapisać, że:
$$x+4x=20 \\
5x=20 \\
x=4$$

Tym samym możemy stwierdzić, że pole podstawy tej bryły jest równe \(4\).

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to wiemy iż w jego podstawie znajduje się kwadrat. Tym samym możemy zapisać, że:
$$a^2=4 \\
a=2 \quad\lor\quad a=-2$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ krawędź podstawy musi być liczbą dodatnią, zatem zostaje nam \(a=2\).

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać w ten oto sposób:


Krok 2. Wyznaczenie wysokości stożka.
Z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) wiemy, że przeciwprostokątna tego trójkąta (która jest tworzącą stożka) jest dwa razy większa od krótszej przyprostokątnej (którą stanowi tutaj promień podstawy), a z kolei dłuższa przyprostokątna (czyli nasza wysokość) jest \(\sqrt{3}\) razy większa od krótszej przyprostokątnej. W ten sposób możemy stwierdzić, że promień podstawy ma długość \(r=6:2=3\), zatem wysokość tej bryły będzie miała długość \(H=3\sqrt{3}\).

\(P(A)=\frac{17}{24}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym zbiorze mamy \(6\) liczb, natomiast w drugim \(4\). Losujemy jedną liczbę z pierwszego zbioru i jedną z drugiego, a to oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć \(|Ω|=6\cdot4=24\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wybór takiej pary liczb, której iloczyn da liczbę dodatnią lub równą \(0\). Moglibyśmy oczywiście zacząć wypisywać takie pary, ale wystarczy zauważyć, że taki iloczyn powstanie wtedy, gdy pomnożymy przez siebie dwie liczby ujemne, dwie liczby dodatnie, albo dowolną liczbę przez \(0\). Rozpiszmy więc ile jest takich poszczególnych możliwości.

Obydwie liczby ujemne:
W pierwszym zbiorze mamy \(3\) liczby ujemne, a w drugim mamy \(2\) takie liczby, zatem zgodnie z regułą mnożenia interesujących nas par będziemy mieć:
$$3\cdot2=6$$

Obydwie liczby dodatnie:
W pierwszym zbiorze mamy \(2\) liczby dodatnie, a w drugim mamy \(1\) taką liczbę, zatem zgodnie z regułą mnożenia interesujących nas par będziemy mieć:
$$2\cdot1=2$$

Liczba \(0\) z pierwszego zbioru i dowolna ze zbioru drugiego:
Pasującą parą będzie także sytuacja, gdy z pierwszego zbioru losujemy \(0\), a z drugiego mamy dowolną liczbę, zatem:
$$1\cdot4=4$$

Dowolna liczba z pierwszego zbioru (różna od zera) i \(0\) z drugiego zbioru:
I analogicznie, możemy mieć dowolną liczbę z pierwszego (oprócz zera, bo już wcześniej rozpisywaliśmy warianty z zerem) i \(0\) z drugiego zbioru, zatem:
$$5\cdot1=5$$

Teraz zgodnie z regułą dodawania możemy stwierdzić, że interesujących nas par mamy \(|A|=6+2+4+5=17\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{17}{24}$$

B

Cyfra \(0\) może znaleźć się w rzędzie dziesiątek lub jedności (w rzędzie setek jej na pewno nie będzie, bo nie ma takiej liczby jak np. 078\). Rozpatrzmy więc oddzielnie dwie sytuacje:

I wariant - cyfra \(0\) w rzędzie dziesiątek:
· W rzędzie setek możemy mieć każdą z cyfr od \(1\) do \(9\) włącznie, więc mamy \(9\) możliwości.
· W rzędzie dziesiątek mamy \(0\), więc jest tutaj \(1\) możliwość.
· W rzędzie jedności możemy mieć jedną z cyfr: \(2, 4, 6, 8\), więc mamy \(4\) możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia takich liczb będziemy mieć w takim razie:
$$9\cdot1\cdot4=36$$

II wariant - cyfra \(0\) w rzędzie jedności:
· W rzędzie setek możemy mieć każdą z cyfr od \(1\) do \(9\) włącznie, więc mamy \(9\) możliwości.
· W rzędzie dziesiątek możemy mieć każdą z cyfr od \(1\) do \(9\) włącznie, więc mamy \(9\) możliwości.
· W rzędzie jedności mamy \(0\), więc jest tutaj \(1\) możliwość.

Zgodnie z regułą mnożenia takich liczb będziemy mieć w takim razie:
$$9\cdot9\cdot1=81$$

Teraz zgodnie z regułą dodawania musimy dodać do siebie wszystkie liczby z I i II wariantu, zatem:
$$36+81=117$$

C

Krok 1. Obliczenie sumy wartości liczb \(a+b+c\).
Z treści zadania wynika, że średnia liczb \(a, b, c\), jest równa \(12\)
$$\frac{a+b+c}{3}=12 \\
a+b+c=36$$

Krok 2. Obliczenie średniej arytmetycznej sześciu podanych liczb.
Suma naszych sześciu podanych liczb jest równa:
$$2a+3a+2b+3b+2c+3c=5a+5b+5c=5\cdot(a+b+c)$$

Wiemy, że \(a+b+c=36\), zatem podstawiając to do powyższego wyrażenia otrzymamy:
$$5\cdot36=180$$

Skoro więc suma tych sześciu liczb jest równa \(180\), to ich średnia wyniesie:
$$śr=\frac{180}{6} \\
śr=30$$

1. \(11\)
2. \(3,5\)
3. \(4\)

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Na początek obliczmy średnią arytmetyczną podanego zestawu:
$$śr=\frac{4\cdot0+2\cdot1+5\cdot2+5\cdot3+11\cdot4+5\cdot5}{4+2+5+5+11+5} \\
śr=\frac{0+2+10+15+44+25}{32} \\
śr=\frac{96}{32} \\
śr=3$$

Wynik poniżej średniej to \(0\), \(1\) lub \(2\) punkty, a taki uzyskało łącznie \(4+2+5=11\) osób.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Skoro mamy \(32\) uczniów (czyli parzystą liczbę osób), to mediana będzie równa średniej arytmetycznej wartości wyrazu numer \(16\) i \(17\) w uporządkowanym zestawie zdobytych punktów. Moglibyśmy oczywiście wypisać cały zestaw jako \(0,0,0,0,1,1...\) i sprawdzić jaka będzie \(16.\) i \(17.\) wartość, ale można też podejść do tego wszystkiego nieco sprytniej. Widzimy, że \(16\) osób otrzymało wynik od \(0\) do \(3\) punktów, przy czym właśnie ta \(16.\) osoba ma \(3\) punkty. Z kolei \(17.\) wynik to będą już \(4\) punkty. W związku z tym mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2} \\
m=\frac{7}{2} \\
m=3,5$$

Krok 3. Rozwiązanie trzeciej części zadania.
Dominanta to najczęściej otrzymywana wartość. Tutaj widzimy, że najwięcej osób (bo aż \(11\)) otrzymało \(4\) punkty, stąd też dominanta będzie równa \(4\).

A

Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci ogólnej.
Przekształćmy wzór naszej funkcji kwadratowej do postaci ogólnej. Wymnażając więc przez siebie te dwa nawiasy, otrzymamy:
$$Z(x)=(500+50x)(16-x) \\
Z(x)=8000-500x+800x-50x^2 \\
Z(x)=-50x^2+300x+8000$$

Krok 2.. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Funkcja ma współczynnik \(a=-50\), czyli ujemny. To oznacza, że wykresem tej funkcji byłaby parabola z ramionami skierowanymi do dołu, a więc tym samym największa wartość tej funkcji będzie przyjmowana w wierzchołku. Celem zadania jest ustalenie dla jakiego \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, więc musimy obliczyć współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli, a dokonamy tego ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Podstawiając teraz współczynniki \(a=-50\) oraz \(b=300\), otrzymamy:
$$p=\frac{-300}{2\cdot(-50)} \\
p=\frac{-300}{-100} \\
p=3$$