Matura – Matematyka – Czerwiec 2024

Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymamy:
$$5n^3-5n=5n(n^2-1)$$

Teraz powinniśmy dostrzec, że \(n^2-1\) da się rozpisać zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a^2-b^2)=(a+b)(a-b)\), zatem mamy:
$$5n\cdot(n+1)\cdot(n-1)$$

Aby lepiej dostrzec pewne kwestie, moglibyśmy jeszcze rozpisać to w taki sposób:
$$5\cdot(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$$

\(n-1\), \(n\) oraz \(n+1\) to nic innego jak trzy kolejne liczby naturalne, a skoro tak, to jedna z nich musi być liczbą podzielną przez \(2\), a jedna z nich będzie na pewno podzielna przez \(3\). Tym samym iloczyn tych liczb będzie podzielny przez \(6\). To sprawia, że \(5\cdot(n-1)\cdot n\cdot(n+1)\) będzie liczbą podzielną przez \(5\cdot6\), czyli przez \(30\), co należało udowodnić.

Krok 1. Wymnożenie wielomianów.
Idea zadania polega na poprawnym wymnożeniu podanych wielomianów, a następnie na uporządkowaniu całego zapisu. Obliczenia będą wyglądać następująco:
$$(2-3x)^2\cdot(3x-2)= \\
=(4-12x+9x^2)\cdot(3x-2)= \\
=12x-8-36x^2+24x+27x^3-18x^2= \\
=27x^3-54x^2+36x-8$$

Krok 2. Obliczenie sumy współczynników wielomianu \(W\).
Odczytujemy współczynniki wielomianu, czyli \(a=27, b=-54, c=36\) oraz \(d=-8\). W takim razie suma tych współczynników będzie równa:
$$27+(-54)+36+(-8)=1$$

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$4x^3-12x^2-x+3=0 \\
4x^2(x-3)-1(x-3)=0 \\
(4x^2-1)(x-3)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$4x^2-1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
4x^2=1 \quad\lor\quad x=3 \\
x^2=\frac{1}{4} \quad\lor\quad x=3 \\
x=\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=3$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, dobrze będzie zwizualizować sobie całą sytuację. Aby parabola miała dokładnie dwa punkty wspólne, to okazuje się, że punkt \(N\) musi być wierzchołkiem tej paraboli, a całość wyglądałaby w następujący sposób:


Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Dostrzegając, że punkt \(N\) musi być wierzchołkiem paraboli (bo w innym przypadku mielibyśmy więcej punktów wspólnych z osią \(Ox\)), możemy przejść do zapisania wzoru funkcji w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka. Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$f(x)=a(x-3)^2+0 \\
f(x)=a(x-3)^2$$

Krok 3. Obliczenie brakującego współczynnika \(a\).
Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Aby go poznać, wystarczy do wyznaczonej przed chwilą postaci podstawić współrzędne punktu \(M\), zatem:
$$18=a(0-3)^2 \\
18=a\cdot(-3)^2 \\
18=9a \\
a=2$$

To oznacza, że naszą funkcję można opisać wzorem \(f(x)=2\cdot(x-3)^2\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie następująco:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AS\).
Wiemy, że bok kwadratu ma długość \(12\), więc \(|AB|=12\), natomiast odcinek \(BS\) ma połowę tej długości, czyli \(|BS|=6\). Możemy więc skorzystać teraz z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć długość odcinka \(AS\):
$$12^2+6^2=|AS|^2 \\
144+36=|AS|^2 \\
|AS|^2=180 \\
|AS|=\sqrt{180} \quad\lor\quad |AS|=-\sqrt{180}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(|AS|=\sqrt{180}\), co moglibyśmy jeszcze rozpisać jako \(\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5}\).

Krok 3. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i ustalenie skali podobieństwa.
Spójrzmy na trójkąty \(ABS\) oraz \(BPS\). Są to trójkąty podobne, co możemy stwierdzić na podstawie cechy kąt-kąt-kąt (wystarczy zauważyć, że oba trójkąty są prostokątne, a dodatkowo mają jeden kąt wspólny przy wierzchołku \(S\), co oznacza, że wszystkie kąty w tych dwóch trójkątach mają jednakowe miary). Dla lepszego zobrazowania, możemy sobie narysować te dwa trójkąty osobno (uwaga na oznaczenia wierzchołków!):


W jednym i drugim trójkącie znamy długości przeciwprostokątnych: \(6\) oraz \(6\sqrt{5}\), no i widzimy wyraźnie, że duży trójkąt ma w takim razie boki \(\sqrt{5}\) razy większe od małego trójkąta. Moglibyśmy więc zapisać, że \(k=\sqrt{5}\).

Krok 4. Obliczenie długości boku \(BP\).
Korzystając ze skali podobieństwa moglibyśmy zapisać, że:
$$|BP|\cdot k=|BA| \\
|BP|\cdot\sqrt{5}=12 \\
|BP|=\frac{12}{\sqrt{5}}$$

Otrzymany wynik jest jak najbardziej poprawny, ale dobrze byłoby jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$|BP|=\frac{12\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka w układzie współrzędnych. Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne obydwu końców odcinka, zatem:
$$S=\left(\frac{2+10}{2};\frac{8+2}{2}\right) \\
S=\left(\frac{12}{2};\frac{10}{2}\right) \\
S=(6;5)$$

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Zanim wyznaczymy symetralną, musimy wyznaczyć równanie prostej \(AB\). Możemy albo skorzystać ze wzoru z tablic, albo z metody układu równań. Układ równań jest znacznie prostszy, dlatego zastosujmy tę metodę. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), a potem \(B\), otrzymując taki oto układ:
\begin{cases}
8=2a+b \\
2=10a+b
\end{cases}

Ten układ możemy rozwiązać dowolną z metodą, ale najprościej będzie po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$6=-8a \\
a=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$$

Znając wartość współczynnika \(a=-\frac{3}{4}\) możemy teraz obliczyć współczynnik \(b\). Podstawiając \(a=-\frac{3}{4}\) do np. pierwszego równania, otrzymamy:
$$8=2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+b \\
8=-\frac{6}{4}+b \\
b=9\frac{1}{2}$$

To onacza, że naszą prostą \(AB\) możemy opisać równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+9\frac{1}{2}\).

Krok 3. Wyznacznie symetralnej odcinka \(AB\).
Symetralna odcinka to prosta prostopadła, która przechodzi przez środek tego odcinka. Mówiąc wprost - szukamy prostej prostopadłej do prostej \(y=-\frac{3}{4}x+9\frac{1}{2}\), która przechodzi przeez punkt \(S=(6;5)\). Dwie proste są względem sobie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych będzie równy \(-1\). To oznacza, że nasza prosta prostopadła musi mieć współczynnik \(a=\frac{4}{3}\), ponieważ \(\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=-1\). Możemy więc już powiedzieć, że symetralna wyraża się równaniem \(y=\frac{4}{3}x+b\).

Aby poznać brakujący współczynnik \(b\), musimy teraz do naszego równania podstawić współrzędne punktu \(S=(6;5)\), zatem:
$$5=\frac{4}{3}\cdot6+b \\
5=8+b \\
b=-3$$

To oznacza, że nasza symetralna wyraża się równaniem \(y=\frac{4}{3}x-3\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\).
Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), czyli na pewno współrzędna \(y=0\). Musimy więc już tylko wyznaczyć współrzędną \(x\) tego punktu, a obliczymy to, podstawiając \(y=0\) do wyznaczonej przed chwilą symetralnej odcinka \(AB\), na której ten punkt \(P\) przecież się znajduje:
$$0=\frac{4}{3}x-3 \\
\frac{4}{3}x=3 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4} \\
x=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$$

To oznacza, że \(P=\left(2\frac{1}{4};0\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(AP\).
Na koniec została nam do policzenia długość odcinka \(AP\). Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(P\), więc wystarczy podstawić te dane do wzoru na długość odcinka:
$$|AP|=\sqrt{(x_{P}-x_{A})^2+(y_{P}-y_{A})^2} \\
|AP|=\sqrt{(2\frac{1}{4}-2)^2+(0-8)^2} \\
|AP|=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+(-8)^2} \\
|AP|=\sqrt{\frac{1}{16}+64} \\
|AP|=\sqrt{64\frac{1}{16}}$$

Wydaje się, że jest to już najlepszy wynik jaki możemy zapisać, ale jeśli ktoś by jeszcze chciał, to można byłoby ten wynik jeszcze rozpisać w następujący sposób:
$$|AP|=\sqrt{\frac{1025}{16}} \\
|AP|=\frac{\sqrt{1025}}{4} \\
|AP|=\frac{\sqrt{25\cdot41}}{4} \\
|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to zgodnie z regułą mnożenia, liczba wszystkich możliwych zdarzeń będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są wszystkie te sytuacje w których w pierwszym rzucie otrzymaliśmy wynik większy niż w rzucie drugim. Najprościej będzie po prostu wypisać te zdarzenia:
$$(2,1) \\
(3;1), (3;2) \\
(4;1), (4;2), (4;3) \\
(5;1), (5;2), (5;3), (5;4) \\
(6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5) \\$$

To oznacza, że \(15\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=15\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$$

Krok 1. Ustalenie, kiedy dzienny przychód będzie największy.
\(P(x)\) jest funkcją kwadratową, która jest zapisana w postaci iloczynowej \(P(x)=(70-x)(20+x)\). Wykres tej funkcji będzie parabolą z ramionami skierowanymi do dołu (dobrze to widać w momencie, gdy wymnożymy przez siebie nawiasy - otrzymalibyśmy wtedy postać ogólną, w której na początku znajdzie się \(-x^2\)). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.


Musimy więc ustalić jaka jest pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, czyli musimy obliczyć \(p\). Mamy tak naprawdę dwie możliwości. Możemy wymnożyć przez siebie te dwa nawiasy, uporządkować cały zapis do postaci ogólnej i z niej wyliczyć tę współrzędną za pomocą wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). Ale możemy postąpić jeszcze sprytniej - z postaci iloczynowej bardzo łatwo możemy wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji (wystarczy przyrównać nawiasy do zera), a z własności parabol wiemy, że współrzędna \(p\) będzie średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. I zastosujmy może to drugie podejście skoro jest taka okazja.

Obliczmy zatem miejsca zerowe, czyli sprawdźmy, kiedy \((70-x)(20+x)=0\). Jest to równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, więc przyrównujemy nawiasy do zera:
$$70-x=0 \quad\lor\quad 20+x=0 \\
x=70 \quad\lor\quad x=-20$$

Tym samym współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli będzie równa:
$$p=\frac{70+(-20)}{2} \\
p=\frac{50}{2} \\
p=25$$

To oznacza, że przychód będzie największy, gdy \(x=25\).

Krok 2. Ustalenie, kiedy dzienny przychód wyniesie \(800\).
Chcemy się dowiedzieć kiedy przychód wyniesie \(800\), czyli musimy rozwiązać następujące równanie:
$$(70-x)(20+x)=800 \\
1400+70x-20x-x^2=800 \\
-x^2+50x+600=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem standardowo korzystamy z delty:

Współczynniki: \(a=-1,\;b=50,\;c=600\)
$$Δ=b^2-4ac=50^2-4\cdot(-1)\cdot600=2500-(-2400)=4900 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4900}=70$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-50-70}{2\cdot(-1)}=\frac{-120}{-2}=60 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-50+70}{2\cdot(-1)}=\frac{20}{-2}=-10$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ zgodnie z założeniami \(x\ge0\) i \(x\le60\), zatem zostaje nam \(x=60\).