Matura – Matematyka – Czerwiec 2024 (stara matura)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie nierówności powinniśmy zacząć od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę, wykonując przy okazji mnożenie z lewej strony, a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x(3x-1)+4\lt7x \\
3x^2-x+4-7x\lt0 \\
3x^2-8x+4\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-8,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot3\cdot4=64-48=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-4}{2\cdot3}=\frac{8-4}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+4}{2\cdot3}=\frac{8+4}{6}=\frac{12}{2}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{2}{3}\) oraz \(x=2\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\langle\frac{2}{3};2\rangle$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, dobrze będzie zwizualizować sobie całą sytuację. Aby parabola miała dokładnie dwa punkty wspólne, to okazuje się, że punkt \(N\) musi być wierzchołkiem tej paraboli, a całość wyglądałaby w następujący sposób:


Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Dostrzegając, że punkt \(N\) musi być wierzchołkiem paraboli (bo w innym przypadku mielibyśmy więcej punktów wspólnych z osią \(Ox\)), możemy przejść do zapisania wzoru funkcji w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka. Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$f(x)=a(x-3)^2+0 \\
f(x)=a(x-3)^2$$

Krok 3. Obliczenie brakującego współczynnika \(a\).
Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Aby go poznać, wystarczy do wyznaczonej przed chwilą postaci podstawić współrzędne punktu \(M\), zatem:
$$18=a(0-3)^2 \\
18=a\cdot(-3)^2 \\
18=9a \\
a=2$$

To oznacza, że naszą funkcję można opisać wzorem \(f(x)=2\cdot(x-3)^2\)

Wymnażając i przekształcając podaną nierówność, otrzymamy następującą sytuację:
$$x^2+49y^2\lt2x+14y-2 \\
x^2+49y^2-2x-14y+2\lt0$$

I teraz najtrudniejsza część tego przekształcenia. Powinniśmy dostrzec, że będziemy dążyć do tego, by osobno "zwinąć" iksy, i osobno igreki (za pomocą oczywiście wzorów skróconego mnożenia). Aby to było możliwe, trzeba będzie rozbić liczbę \(2\) na sumę \(1+1\), a całość będzie wyglądać następująco:
$$x^2+49y^2-2x-14y+1+1\lt0 \\
x^2-2x+1+49y^2-14y+1\lt0 \\
(x-1)^2+(7y-1)^2\lt0$$

Z treści zadania wiemy, że \(x\) jest liczbą różną od zera, więc wartość \((x-1)^2\) na pewno jest dodatnia (jakakolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni). Wartość \((7y-1)^2\) będzie albo równa zero, albo też będzie dodatnia (czyli będzie nieujemna), bo każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero. Mamy więc sumę liczby dodatniej oraz nieujemnej, a więc sumę, która na pewno będzie większa od zera, co należało udowodnić.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie następująco:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AS\).
Wiemy, że bok kwadratu ma długość \(12\), więc \(|AB|=12\), natomiast odcinek \(BS\) ma połowę tej długości, czyli \(|BS|=6\). Możemy więc skorzystać teraz z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć długość odcinka \(AS\):
$$12^2+6^2=|AS|^2 \\
144+36=|AS|^2 \\
|AS|^2=180 \\
|AS|=\sqrt{180} \quad\lor\quad |AS|=-\sqrt{180}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(|AS|=\sqrt{180}\), co moglibyśmy jeszcze rozpisać jako \(\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5}\).

Krok 3. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i ustalenie skali podobieństwa.
Spójrzmy na trójkąty \(ABS\) oraz \(BPS\). Są to trójkąty podobne, co możemy stwierdzić na podstawie cechy kąt-kąt-kąt (wystarczy zauważyć, że oba trójkąty są prostokątne, a dodatkowo mają jeden kąt wspólny przy wierzchołku \(S\), co oznacza, że wszystkie kąty w tych dwóch trójkątach mają jednakowe miary). Dla lepszego zobrazowania, możemy sobie narysować te dwa trójkąty osobno (uwaga na oznaczenia wierzchołków!):


W jednym i drugim trójkącie znamy długości przeciwprostokątnych: \(6\) oraz \(6\sqrt{5}\), no i widzimy wyraźnie, że duży trójkąt ma w takim razie boki \(\sqrt{5}\) razy większe od małego trójkąta. Moglibyśmy więc zapisać, że \(k=\sqrt{5}\).

Krok 4. Obliczenie długości boku \(BP\).
Korzystając ze skali podobieństwa moglibyśmy zapisać, że:
$$|BP|\cdot k=|BA| \\
|BP|\cdot\sqrt{5}=12 \\
|BP|=\frac{12}{\sqrt{5}}$$

Otrzymany wynik jest jak najbardziej poprawny, ale dobrze byłoby jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$|BP|=\frac{12\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$$

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że drugi wyraz będzie równy średniej arytmetycznej wyrazu pierwszego i trzeciego, co zapisujemy jako:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając teraz poszczególne wyrażenia z treści zadania, otrzymamy:
$$2x^2+1=\frac{4x^2-1+(1-x)}{2} \\
4x^2+2=4x^2-x \\
2=-x \\
x=-2$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to zgodnie z regułą mnożenia, liczba wszystkich możliwych zdarzeń będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są wszystkie te sytuacje w których w pierwszym rzucie otrzymaliśmy wynik większy niż w rzucie drugim. Najprościej będzie po prostu wypisać te zdarzenia:
$$(2,1) \\
(3;1), (3;2) \\
(4;1), (4;2), (4;3) \\
(5;1), (5;2), (5;3), (5;4) \\
(6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5) \\$$

To oznacza, że \(15\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=15\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka w układzie współrzędnych. Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne obydwu końców odcinka, zatem:
$$S=\left(\frac{2+10}{2};\frac{8+2}{2}\right) \\
S=\left(\frac{12}{2};\frac{10}{2}\right) \\
S=(6;5)$$

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Zanim wyznaczymy symetralną, musimy wyznaczyć równanie prostej \(AB\). Możemy albo skorzystać ze wzoru z tablic, albo z metody układu równań. Układ równań jest znacznie prostszy, dlatego zastosujmy tę metodę. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), a potem \(B\), otrzymując taki oto układ:
\begin{cases}
8=2a+b \\
2=10a+b
\end{cases}

Ten układ możemy rozwiązać dowolną z metodą, ale najprościej będzie po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$6=-8a \\
a=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$$

Znając wartość współczynnika \(a=-\frac{3}{4}\) możemy teraz obliczyć współczynnik \(b\). Podstawiając \(a=-\frac{3}{4}\) do np. pierwszego równania, otrzymamy:
$$8=2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+b \\
8=-\frac{6}{4}+b \\
b=9\frac{1}{2}$$

To onacza, że naszą prostą \(AB\) możemy opisać równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+9\frac{1}{2}\).

Krok 3. Wyznacznie symetralnej odcinka \(AB\).
Symetralna odcinka to prosta prostopadła, która przechodzi przez środek tego odcinka. Mówiąc wprost - szukamy prostej prostopadłej do prostej \(y=-\frac{3}{4}x+9\frac{1}{2}\), która przechodzi przeez punkt \(S=(6;5)\). Dwie proste są względem sobie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych będzie równy \(-1\). To oznacza, że nasza prosta prostopadła musi mieć współczynnik \(a=\frac{4}{3}\), ponieważ \(\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=-1\). Możemy więc już powiedzieć, że symetralna wyraża się równaniem \(y=\frac{4}{3}x+b\).

Aby poznać brakujący współczynnik \(b\), musimy teraz do naszego równania podstawić współrzędne punktu \(S=(6;5)\), zatem:
$$5=\frac{4}{3}\cdot6+b \\
5=8+b \\
b=-3$$

To oznacza, że nasza symetralna wyraża się równaniem \(y=\frac{4}{3}x-3\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\).
Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), czyli na pewno współrzędna \(y=0\). Musimy więc już tylko wyznaczyć współrzędną \(x\) tego punktu, a obliczymy to, podstawiając \(y=0\) do wyznaczonej przed chwilą symetralnej odcinka \(AB\), na której ten punkt \(P\) przecież się znajduje:
$$0=\frac{4}{3}x-3 \\
\frac{4}{3}x=3 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4} \\
x=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$$

To oznacza, że \(P=\left(2\frac{1}{4};0\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(AP\) oraz \(BP\).
Obliczmy teraz długość odcinka \(AP\). Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(P\), więc wystarczy podstawić te dane do wzoru na długość odcinka:
$$|AP|=\sqrt{(x_{P}-x_{A})^2+(y_{P}-y_{A})^2} \\
|AP|=\sqrt{(2\frac{1}{4}-2)^2+(0-8)^2} \\
|AP|=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+(-8)^2} \\
|AP|=\sqrt{\frac{1}{16}+64} \\
|AP|=\sqrt{64\frac{1}{16}}$$

Wydaje się, że jest to już najlepszy wynik jaki możemy zapisać, ale jeśli ktoś by jeszcze chciał, to można byłoby ten wynik jeszcze rozpisać w następujący sposób:
$$|AP|=\sqrt{\frac{1025}{16}} \\
|AP|=\frac{\sqrt{1025}}{4} \\
|AP|=\frac{\sqrt{25\cdot41}}{4} \\
|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}$$

Odcinek \(BP\) będzie miał jednakową miarę, więc od razu możemy zapisać, że \(|BP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}\).

Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Do obwodu trójkąta potrzebujemy jeszcze znajomości długości odcinka \(AB\). Tu też znamy obydwie współrzędne punktów, zatem możemy od razu skorzystać ze wzoru na długość odcinka:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(10-2)^2+(2-8)^2} \\
|AB|=\sqrt{8^2+(-6)^2} \\
|AB|=\sqrt{64+36} \\
|AB|=\sqrt{100} \\
|AB|=10$$

Krok 7. Obliczenie obwodu trójkąta \(ABP\).
Na koniec została formalność, czyli podanie obwodu trójkąta \(ABP\), zatem:
$$Obw_{ABP}=2\cdot\frac{5\sqrt{41}}{4}+10 \\
Obw_{ABP}=\frac{5\sqrt{41}}{2}+10$$