Matura – Matematyka – Czerwiec 2024 (stara matura) – Odpowiedzi

Brak poprawnej odpowiedzi

Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$2^{-1}\cdot32^{\frac{3}{5}}=2^{-1}\cdot(2^{5})^{\frac{3}{5}}= \\
=2^{-1}\cdot2^{5\cdot\frac{3}{5}}=2^{-1}\cdot2^{3}=2^{-1+3}=2^2=4$$

Brak poprawnej odpowiedzi

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_3\left(\frac{3}{2}\right)+log_3\left(\frac{2}{9}\right)=log_3\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\right)=log_{3}\frac{3}{9}=log_{3}\frac{1}{3}=-1$$

Jeśli nie umiemy podać z pamięci wartości \(log_{3}\frac{1}{3}\), to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{3}\frac{1}{3}=x \quad\Longleftrightarrow\quad 3^x=\frac{1}{3}$$

Teraz sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymamy:
$$3^x=\frac{1}{3} \\
3^x=3^{-1} \\
x=-1$$

Brak poprawnej odpowiedzi

W zadaniu musimy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Cała trudność opierać się teraz będzie jedynie na poprawnym wykonaniu działań na potęgach i pierwiastkach, a obliczenia będą wyglądały następująco:
$$(2\sqrt{10}+\sqrt{2})^2=(2\sqrt{10})^2+2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2= \\
=4\cdot10+4\sqrt{20}+2=40+4\sqrt{4\cdot5}+2=42+8\sqrt{5}$$

Brak poprawnej odpowiedzi

Pole pierwszego prostokąta jest równe \(a\cdot b\). Pole drugiego prostokąta jest równe \(0,2a\cdot8b=1,6ab\). Pole prostokąta \(P_{1}\) stanowi zatem \(\frac{ab}{1,6ab}=0,625=62,5\%\) prostokąta \(P_{2}\).

Brak poprawnej odpowiedzi

Najprościej będzie rozpisać to sobie w następujący sposób:
· po pierwszym roku oszczędzania mamy \(K_{0}\cdot1,06\) pieniędzy
· po drugim roku oszczędzania mamy \(K_{0}\cdot1,06\cdot1,06\), czyli \(K_{0}\cdot(1,06)^2\)
· po trzecim roku oszczędzania mamy \(K_{0}\cdot1,06\cdot1,06\cdot1,06\), czyli \(K_{0}\cdot(1,06)^3\)

Brak poprawnej odpowiedzi

Celem zadania jest po prostu rozwiązanie równania, a samo rozwiązywanie najłatwiej będzie zacząć od obustronnego wymnożenia przez \(12\), zatem:
$$\dfrac{3x-5}{12}\lt\dfrac{1}{3} \quad\bigg/\cdot12 \\
3x-5\lt4 \\
3x\lt9 \\
x\lt3$$

Dodatnimi liczbami całkowitymi, które są mniejsze od \(3\), będą tylko \(1\) oraz \(2\), więc mamy tylko dwa interesujące nas rozwiązania nierówności.

Brak poprawnej odpowiedzi

Nasz układ równań można rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie chyba zacząć od podzielenia obustronnie drugiego równania przez \(4\), zatem:
\begin{cases}x-2y=3 \\
-4x+8y=-12 \quad\bigg/:(-4)
\end{cases}

\begin{cases}x-2y=3 \\
x-2y=3
\end{cases}

Otrzymaliśmy dwa te same równania, a to oznacza, że nasz układ jest nieoznaczony, czyli będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań.

Brak poprawnej odpowiedzi

Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka znalazła się niewiadoma \(x\). W związku z tym, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość mianownika musi być różna od zera, stąd też:
$$x-2\neq0 \\
x\neq2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Najprościej będzie chyba zacząć od wymnożenia obydwu stron przez wartość w mianowniku (która w ten sposób tak naprawdę nam zniknie), zatem:
$$\dfrac{3x\cdot(2x+8)}{x-2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-2) \\
3x\cdot(2x+8)=0 \\
6x^2+24x=0 \\
x^2+4x=0 \\
x(x+4)=0$$

Otrzymaliśmy równanie w postaci iloczynowej, zatem przyrównujemy odpowiednie wartości do zera:
$$x=0 \quad\lor\quad x+4=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-4$$

Obydwa te rozwiązania są jak najbardziej poprawne, żadne z nich nie wyklucza się z zapisanymi wcześniej założeniami, zatem zerkając na odpowiedzi możemy stwierdzić, że jednym z poszukiwanych rozwiązań będzie liczba \(-4\).

Brak poprawnej odpowiedzi

Zweryfikujmy każdą z proponowanych odpowiedzi:
Odp. A. - to jest nieprawda, ponieważ funkcja przyjmuje wartość równą \(0\) dla dwóch argumentów, czyli mamy dwa miejsca zerowe.
Odp. B. - gdyby wykres był symetryczny względem osi \(Oy\), to wartości dla np. \(x=-2\) oraz \(x=2\) powinny być takie same, a nie są, więc to zdanie na pewno nie jest prawdą.
Odp. C. - zgadza się, największa wartość tej funkcji jest równa \(3\) i jest ona przyjmowana dla argumentu \(x=2\).
Odp. D. - to nieprawda, bo najmniejsza wartość funkcji jest równa \(-1\).

Prawdziwe jest więc zdanie z trzeciej odpowiedzi.

Brak poprawnej odpowiedzi

Jeśli liczba \(2\) jest miejscem zerowym, to dla argumentu \(x=2\) funkcja musi przyjąć wartość równą \(0\). Musimy zatem rozwiązać następujące równanie:
$$(3-m)\cdot2+4=0 \\
6-2m+4=0 \\
-2m+10=0 \\
-2m=-10 \\
m=5$$

Brak poprawnej odpowiedzi

Z wykresu możemy wprost odczytać, że największą wartością naszej funkcji jest \(y=4\).

Brak poprawnej odpowiedzi

Podana funkcja maleje od argumentu \(x=-1\) aż do argumentu \(x=1\), więc funkcja jest malejąca z przedziale \(\langle-1,1\rangle\).

Brak poprawnej odpowiedzi

Funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(4\) jednostki w lewo, a takie przesunięcie zapisalibyśmy jako \(g(x)=f(x+4)\).

Brak poprawnej odpowiedzi

Funkcja \(f(x)=-(x+1)^2+4\) jest zapisana w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\), z której wprost możemy odczytać współczynnik kierunkowy a=-1 oraz współrzędne wierzchołka paraboli, czyli \(p=-1\) oraz \(q=4\). Szukamy więc wykresu funkcji, która będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny) oraz ma wierzchołek w punkcie \(W=(-1,4)\), a taka funkcja znalazła się w odpowiedzi \(B\).

Brak poprawnej odpowiedzi

Sprawdźmy, jak zachowa się nasz ciąg dla kilku początkowych wyrazów. Pozwoli nam to za chwilę wyciągnąć pierwsze wnioski związane z tym zadaniem. Przykładowo:
\(a_{1}=2\cdot(-1)^{1+1}+5=2\cdot1+5=2+5=7 \\
a_{2}=2\cdot(-1)^{2+1}+5=2\cdot(-1)+5=-2+5=3 \\
a_{3}=2\cdot(-1)^{3+1}+5=2\cdot1+5=2+5=7 \\
a_{4}=2\cdot(-1)^{4+1}+5=2\cdot(-1)+5=-2+5=3\)

Widzimy, że jest to ciąg, który naprzemiennie ma wartości wyrazów równe \(7\) oraz \(3\). Suma dziesięciu pierwszych wyrazów tego ciągu będzie więc sumą pięciu wyrazów równych \(7\) oraz pięciu wyrazów równych \(3\), zatem:
$$S_{10}=5\cdot7+5\cdot3 \\
S_{10}=35+15 \\
S_{10}=50$$

Brak poprawnej odpowiedzi

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartości dwóch sąsiednich wyrazów, możemy bez problemu obliczyć różnicę naszego ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=13-7 \\
r=6$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{10}\).
Korzystając z własności ciągów arytmetycznych lub po prostu ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu, możemy zapisać, że:
$$a_{10}=a_{1}+9r \\
a_{10}=7+9\cdot6 \\
a_{10}=7+54 \\
a_{10}=61$$

Brak poprawnej odpowiedzi

Krok 1. Określenie wartości liczby \(x\).
Jeśli ciąg \((-1,2,x)\) jest arytmetyczny, to musi to być ciąg rosnący (bo po pierwszym i drugim wyrazie widzimy, że \(r=3\)). Tym samym \(x\) będzie równe \(5\), czyli możemy powiedzieć, że \(x\gt0\).

Krok 2. Określenie wartości liczby \(y\).
Jeśli ciąg \((-1,2,y)\) jest geometryczny, to widzimy, że \(q=-2\), bo \((-1)\cdot(-2)=2\). Tym samym trzeci wyraz tego ciągu będzie równy \(2\cdot(-2)=-4\), czyli \(y\lt0\).

Brak poprawnej odpowiedzi

Zgodnie z jedynką trygonometryczną, moglibyśmy rozpisać, że \(sin^2 27°+cos^2 27°=1\), czyli że \(cos^2 27°=1-sin^2 27°\). Tym samym nasza liczba byłaby równa:
$$1+cos^2 27°=1+1-sin^2 27°=2-sin^2 27°$$

Brak poprawnej odpowiedzi

Po dorysowaniu wysokości z wierzchołka \(C\) powinniśmy dostrzec, że powstanie nam klasyczny trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\), a tym samym miara poszukiwanego kąta będzie równa \(30°\). Skąd wiemy, że to będzie akurat taki trójkąt? Jedna przyprostokątna tego trójkąta będzie mieć długość \(\sqrt{3}\), natomiast druga \(3\), czyli tym samym będzie \(\sqrt{3}\) razy większa od krótszej przyprostokątnej (bo \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\) to właśnie \(3\)), co jest właśnie charakterystyczną cechą takich trójkątów.


Jeśli jednak nie dostrzegliśmy tej własności, to nic nie stoi na przeszkodzie by skorzystać z funkcji trygonometrycznych. Po dorysowaniu wysokości z wierzchołka \(C\) mamy trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch przyprostokątnych, zatem korzystamy z tangensa:
$$tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Z tablic (a konkretnie z tzw. małej tabelki) możemy odczytać, że tangens przyjmuje taką wartość dla kąta o mierze \(30°\).

Brak poprawnej odpowiedzi

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ASB\).
Spójrzmy najpierw na kąt środkowy \(ASB\). Będzie on oparty na łuku, który stanowi \(\frac{1}{5}\) długości okręgu, czyli tym samym będzie to \(\frac{1}{5}\) kąta pełnego, zatem:
$$|\sphericalangle ASB|=\frac{1}{5}\cdot360° \\
|\sphericalangle ASB|=72°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ACB\).
Kąt \(ACB\) jest kątem wpisanym, opartym na tym samym łuku co kąt środkowy \(ASB\). Z własości kątów wpisanych i środkowych wynika, że miara tego kąta będzie w takim razie dwa razy mniejsza od kąta \(ASB\), zatem:
$$|\sphericalangle ACB|=72°:2 \\
|\sphericalangle ACB|=36°$$

Brak poprawnej odpowiedzi

Dwie proste typu \(y=ax+b\) są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(3m+1\), natomiast ma ten współczynnik równy \(-4\). Musimy więc rozwiązać następujące równanie:
$$3m+1=-4 \\
3m=-5 \\
m=-\frac{5}{3}$$

Przy okazji warto tutaj zwrócić uwagę na ciekawą pułapkę, ponieważ liczba \(m\) w drugiej prostej pojawiła się we współczynniku \(b\), którego w ogóle nie braliśmy w tym przypadku do obliczeń.

Brak poprawnej odpowiedzi

Aby poznać obraz prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, najprościej będzie najpierw dokonać przekształcenia względem osi \(OX\), a potem względem osi \(OX\). Chcąc dokonać przekształcenia względem osi \(OX\) musimy postawić znak minus przed całym równaniem prostej, zatem:
$$y=-(-3x+1) \\
y=3x-1$$

Teraz aby przekształcić tę prostą względem osi \(OY\) musimy zmienić znak przy \(x\) na przeciwny, czyli to będzie:
$$y=-3x-1$$

I taka też prosta będzie poszukiwanym obrazem symetrii.

Brak poprawnej odpowiedzi

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Wszystkie ściany sześcianu są kwadratami. Z treści zadania wynika, że przekątna takiego kwadratu ma długość \(2\sqrt{2}\), a z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Tym samym możemy zapisać, że:
$$a\sqrt{2}=2\sqrt{2} \\
a=2$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Objętość sześcianu obliczamy ze wzoru \(V=a^3\), zatem:
$$V=2^3 \\
V=8$$

Brak poprawnej odpowiedzi

W podstawie graniastosłupa mamy kwadrat, a zgodnie z własnościami kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku \(a\) będzie równa \(a\sqrt{2}\). To pozwala nam stwierdzić, że przekątna naszej podstawy będzie równa \(d=4\sqrt{2}\).

Teraz spójrzmy na kluczowy trójkąt prostokątny, który tworzy właśnie przekątna podstawy, wysokość bryły oraz przekątna graniastosłupa. Wiemy, że tangens zaznaczonego kąta \(\alpha\) jest równy \(2\), a skoro tangens opisuje nam stosunek między długościami przyprostokątnych, to możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{H}{d} \\
2=\frac{H}{4\sqrt{2}} \\
H=8\sqrt{2}$$

Brak poprawnej odpowiedzi

Główną pułapką w tym zadaniu jest fakt, że o ile zazwyczaj mamy podaną liczbę wszystkich ścian, tak tutaj wyraźnie zaznaczono, że są to ściany boczne. Skoro mamy \(2024\) ścian bocznych, to tym samym w podstawie mamy \(2024\)-kąt, czyli \(n=2024\). Każdy ostrosłup ma \(2n\) krawędzi, czyli ten będzie miał ich \(2\cdot2024=4048\).

Brak poprawnej odpowiedzi

Krok 1. Obliczenie pola podstawy oraz pola powierzchni bocznej.
Z treści zadania wynika, że ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli że w podstawie będzie miał kwadrat. Korzstając zatem ze wzoru na pole kwadratu, możemy zapisać, że:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=4^2 \\
P_{p}=16$$

Wiemy, że \(P_{c}=56\), więc możemy jeszcze obliczyć pole powierzchni bocznej:
$$P_{b}=P_{c}-P_{p} \\
P_{b}=56-16 \\
P_{b}=40$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Pole powierzchni bocznej wyszło nam równe \(40\). Na to pole składają się cztery jednakowe trójkąty, więc każdy taki trójkąt będzie miał pole równe \(40:4=10\). Podstawa każdego takiego trójkąta jest równa \(a=4\), zatem poszukiwana wysokość zgodnie ze wzorem na pole trójkąta będzie równa:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
10=\frac{1}{2}\cdot4\cdot h \\
10=2h \\
h=5$$

Brak poprawnej odpowiedzi

$$śr=\frac{2\cdot1+9\cdot2+5\cdot3+3\cdot4+5\cdot5+1\cdot6}{2+9+5+3+5+1} \\
śr=\frac{2+18+15+12+25+6}{25} \\
śr=\frac{78}{25} \\
śr=3,12$$

Brak poprawnej odpowiedzi

Rozpiszmy sobie jakie cyfry mogą znaleźć się na każdym z czterech miejsc naszej liczby:
· w rzędzie tysięcy może znaleźć się każda z trzech cyfr: \(2, 4\) lub \(7\). Mamy zatem \(3\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· w rzędzie setek może znaleźć się każda z trzech cyfr: \(2, 4\) lub \(7\). Mamy zatem \(3\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· w rzędzie dziesiątek może znaleźć się każda z trzech cyfr: \(2, 4\) lub \(7\). Mamy zatem \(3\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· w rzędzie jedności może znaleźć się tylko cyfra \(2\) lub \(4\), bo chcemy by liczba była parzysta. Mamy zatem \(2\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$3\cdot3\cdot3\cdot2=54$$

Brak poprawnej odpowiedzi

Jeśli prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest równe \(\frac{3}{5}\), to obrazowo rzecz ujmując, czarne kule stanowią \(\frac{3}{5}\) zawartości pudełka, a tym samym kule białe stanowią \(\frac{2}{5}\). Przyjmijmy, że wszystkich kul w pudełku jest \(x\) sztuk, więc skoro czarnych kul jest \(18\), to moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{3}{5}x=18 \\
x=30$$

Tym samym białych kul będziemy mieć:
$$\frac{2}{5}\cdot30=12$$

\(x\in\langle\frac{2}{3};2\rangle\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie nierówności powinniśmy zacząć od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę, wykonując przy okazji mnożenie z lewej strony, a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x(3x-1)+4\lt7x \\
3x^2-x+4-7x\lt0 \\
3x^2-8x+4\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-8,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot3\cdot4=64-48=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-4}{2\cdot3}=\frac{8-4}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+4}{2\cdot3}=\frac{8+4}{6}=\frac{12}{2}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{2}{3}\) oraz \(x=2\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\langle\frac{2}{3};2\rangle$$

\(f(x)=2\cdot(x-3)^2\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, dobrze będzie zwizualizować sobie całą sytuację. Aby parabola miała dokładnie dwa punkty wspólne, to okazuje się, że punkt \(N\) musi być wierzchołkiem tej paraboli, a całość wyglądałaby w następujący sposób:


Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Dostrzegając, że punkt \(N\) musi być wierzchołkiem paraboli (bo w innym przypadku mielibyśmy więcej punktów wspólnych z osią \(Ox\)), możemy przejść do zapisania wzoru funkcji w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka. Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$f(x)=a(x-3)^2+0 \\
f(x)=a(x-3)^2$$

Krok 3. Obliczenie brakującego współczynnika \(a\).
Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Aby go poznać, wystarczy do wyznaczonej przed chwilą postaci podstawić współrzędne punktu \(M\), zatem:
$$18=a(0-3)^2 \\
18=a\cdot(-3)^2 \\
18=9a \\
a=2$$

To oznacza, że naszą funkcję można opisać wzorem \(f(x)=2\cdot(x-3)^2\)

Udowodniono przekształcając zapis i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Wymnażając i przekształcając podaną nierówność, otrzymamy następującą sytuację:
$$x^2+49y^2\lt2x+14y-2 \\
x^2+49y^2-2x-14y+2\lt0$$

I teraz najtrudniejsza część tego przekształcenia. Powinniśmy dostrzec, że będziemy dążyć do tego, by osobno "zwinąć" iksy, i osobno igreki (za pomocą oczywiście wzorów skróconego mnożenia). Aby to było możliwe, trzeba będzie rozbić liczbę \(2\) na sumę \(1+1\), a całość będzie wyglądać następująco:
$$x^2+49y^2-2x-14y+1+1\lt0 \\
x^2-2x+1+49y^2-14y+1\lt0 \\
(x-1)^2+(7y-1)^2\lt0$$

Z treści zadania wiemy, że \(x\) jest liczbą różną od zera, więc wartość \((x-1)^2\) na pewno jest dodatnia (jakakolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni). Wartość \((7y-1)^2\) będzie albo równa zero, albo też będzie dodatnia (czyli będzie nieujemna), bo każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero. Mamy więc sumę liczby dodatniej oraz nieujemnej, a więc sumę, która na pewno będzie większa od zera, co należało udowodnić.

\(|BP|=\frac{12\sqrt{5}}{5}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie następująco:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AS\).
Wiemy, że bok kwadratu ma długość \(12\), więc \(|AB|=12\), natomiast odcinek \(BS\) ma połowę tej długości, czyli \(|BS|=6\). Możemy więc skorzystać teraz z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć długość odcinka \(AS\):
$$12^2+6^2=|AS|^2 \\
144+36=|AS|^2 \\
|AS|^2=180 \\
|AS|=\sqrt{180} \quad\lor\quad |AS|=-\sqrt{180}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(|AS|=\sqrt{180}\), co moglibyśmy jeszcze rozpisać jako \(\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5}\).

Krok 3. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i ustalenie skali podobieństwa.
Spójrzmy na trójkąty \(ABS\) oraz \(BPS\). Są to trójkąty podobne, co możemy stwierdzić na podstawie cechy kąt-kąt-kąt (wystarczy zauważyć, że oba trójkąty są prostokątne, a dodatkowo mają jeden kąt wspólny przy wierzchołku \(S\), co oznacza, że wszystkie kąty w tych dwóch trójkątach mają jednakowe miary). Dla lepszego zobrazowania, możemy sobie narysować te dwa trójkąty osobno (uwaga na oznaczenia wierzchołków!):


W jednym i drugim trójkącie znamy długości przeciwprostokątnych: \(6\) oraz \(6\sqrt{5}\), no i widzimy wyraźnie, że duży trójkąt ma w takim razie boki \(\sqrt{5}\) razy większe od małego trójkąta. Moglibyśmy więc zapisać, że \(k=\sqrt{5}\).

Krok 4. Obliczenie długości boku \(BP\).
Korzystając ze skali podobieństwa moglibyśmy zapisać, że:
$$|BP|\cdot k=|BA| \\
|BP|\cdot\sqrt{5}=12 \\
|BP|=\frac{12}{\sqrt{5}}$$

Otrzymany wynik jest jak najbardziej poprawny, ale dobrze byłoby jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$|BP|=\frac{12\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$$

\(x=-2\)

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że drugi wyraz będzie równy średniej arytmetycznej wyrazu pierwszego i trzeciego, co zapisujemy jako:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając teraz poszczególne wyrażenia z treści zadania, otrzymamy:
$$2x^2+1=\frac{4x^2-1+(1-x)}{2} \\
4x^2+2=4x^2-x \\
2=-x \\
x=-2$$

\(p=\frac{5}{12}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to zgodnie z regułą mnożenia, liczba wszystkich możliwych zdarzeń będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są wszystkie te sytuacje w których w pierwszym rzucie otrzymaliśmy wynik większy niż w rzucie drugim. Najprościej będzie po prostu wypisać te zdarzenia:
$$(2,1) \\
(3;1), (3;2) \\
(4;1), (4;2), (4;3) \\
(5;1), (5;2), (5;3), (5;4) \\
(6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5) \\$$

To oznacza, że \(15\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=15\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$$

\(P=\left(2\frac{1}{4};0\right)\) oraz \(Obw_{ABP}=\frac{5\sqrt{41}}{2}+10\)

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka w układzie współrzędnych. Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne obydwu końców odcinka, zatem:
$$S=\left(\frac{2+10}{2};\frac{8+2}{2}\right) \\
S=\left(\frac{12}{2};\frac{10}{2}\right) \\
S=(6;5)$$

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Zanim wyznaczymy symetralną, musimy wyznaczyć równanie prostej \(AB\). Możemy albo skorzystać ze wzoru z tablic, albo z metody układu równań. Układ równań jest znacznie prostszy, dlatego zastosujmy tę metodę. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), a potem \(B\), otrzymując taki oto układ:
\begin{cases}
8=2a+b \\
2=10a+b
\end{cases}

Ten układ możemy rozwiązać dowolną z metodą, ale najprościej będzie po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$6=-8a \\
a=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$$

Znając wartość współczynnika \(a=-\frac{3}{4}\) możemy teraz obliczyć współczynnik \(b\). Podstawiając \(a=-\frac{3}{4}\) do np. pierwszego równania, otrzymamy:
$$8=2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+b \\
8=-\frac{6}{4}+b \\
b=9\frac{1}{2}$$

To onacza, że naszą prostą \(AB\) możemy opisać równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+9\frac{1}{2}\).

Krok 3. Wyznacznie symetralnej odcinka \(AB\).
Symetralna odcinka to prosta prostopadła, która przechodzi przez środek tego odcinka. Mówiąc wprost - szukamy prostej prostopadłej do prostej \(y=-\frac{3}{4}x+9\frac{1}{2}\), która przechodzi przeez punkt \(S=(6;5)\). Dwie proste są względem sobie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych będzie równy \(-1\). To oznacza, że nasza prosta prostopadła musi mieć współczynnik \(a=\frac{4}{3}\), ponieważ \(\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=-1\). Możemy więc już powiedzieć, że symetralna wyraża się równaniem \(y=\frac{4}{3}x+b\).

Aby poznać brakujący współczynnik \(b\), musimy teraz do naszego równania podstawić współrzędne punktu \(S=(6;5)\), zatem:
$$5=\frac{4}{3}\cdot6+b \\
5=8+b \\
b=-3$$

To oznacza, że nasza symetralna wyraża się równaniem \(y=\frac{4}{3}x-3\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\).
Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), czyli na pewno współrzędna \(y=0\). Musimy więc już tylko wyznaczyć współrzędną \(x\) tego punktu, a obliczymy to, podstawiając \(y=0\) do wyznaczonej przed chwilą symetralnej odcinka \(AB\), na której ten punkt \(P\) przecież się znajduje:
$$0=\frac{4}{3}x-3 \\
\frac{4}{3}x=3 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4} \\
x=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$$

To oznacza, że \(P=\left(2\frac{1}{4};0\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(AP\) oraz \(BP\).
Obliczmy teraz długość odcinka \(AP\). Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(P\), więc wystarczy podstawić te dane do wzoru na długość odcinka:
$$|AP|=\sqrt{(x_{P}-x_{A})^2+(y_{P}-y_{A})^2} \\
|AP|=\sqrt{(2\frac{1}{4}-2)^2+(0-8)^2} \\
|AP|=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+(-8)^2} \\
|AP|=\sqrt{\frac{1}{16}+64} \\
|AP|=\sqrt{64\frac{1}{16}}$$

Wydaje się, że jest to już najlepszy wynik jaki możemy zapisać, ale jeśli ktoś by jeszcze chciał, to można byłoby ten wynik jeszcze rozpisać w następujący sposób:
$$|AP|=\sqrt{\frac{1025}{16}} \\
|AP|=\frac{\sqrt{1025}}{4} \\
|AP|=\frac{\sqrt{25\cdot41}}{4} \\
|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}$$

Odcinek \(BP\) będzie miał jednakową miarę, więc od razu możemy zapisać, że \(|BP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}\).

Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Do obwodu trójkąta potrzebujemy jeszcze znajomości długości odcinka \(AB\). Tu też znamy obydwie współrzędne punktów, zatem możemy od razu skorzystać ze wzoru na długość odcinka:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(10-2)^2+(2-8)^2} \\
|AB|=\sqrt{8^2+(-6)^2} \\
|AB|=\sqrt{64+36} \\
|AB|=\sqrt{100} \\
|AB|=10$$

Krok 7. Obliczenie obwodu trójkąta \(ABP\).
Na koniec została formalność, czyli podanie obwodu trójkąta \(ABP\), zatem:
$$Obw_{ABP}=2\cdot\frac{5\sqrt{41}}{4}+10 \\
Obw_{ABP}=\frac{5\sqrt{41}}{2}+10$$