Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest 2 razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta

Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest \(2\) razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania możemy narysować mniej więcej taki oto trójkąt prostokątny:

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Zgodnie z oznaczeniami na rysunku możemy przy pomocy Twierdzenia Pitagorasa zapisać, że:
$$x^2+(2x)^2=c^2 \\
x^2+4x^2=c^2 \\
c^2=5x^2 \\
c=\sqrt{5}x \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}x$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{5}x\).

Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa.
Wiedząc, że cosinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\) do przeciwprostokątnej możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{x}{c} \\
cosα=\frac{x}{\sqrt{5}x} \\
cosα=\frac{1}{\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Odpowiedź

\(\cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Dodaj komentarz