Rozwiązanie
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu geometrycznego.
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że długości poszczególnych odcinków będą tworzyły ciąg geometryczny, w którym \(a_{1}=16\) oraz \(q=\frac{1}{2}\) (ponieważ każdy kolejny wyraz jest dwa razy mniejszy od poprzedniego). Dodatkowo wiemy, że suma wszystkich odcinków jest równa \(31\), czyli moglibyśmy też dodać, że \(S_{n}=31\).
Krok 2. Obliczenie liczby odcinków.
Skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
Jedyną niewiadomą w tym ciągu jest \(n\), czyli tak naprawdę liczba odcinków naszej łamanej. Podstawiając wszystkie znane dane, otrzymamy:
$$31=16\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}} \\
31=16\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{1}{2}} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2} \\
\frac{31}{2}=16\cdot\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \quad\bigg/:16 \\
\frac{31}{32}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n \\
-\frac{1}{32}=-\left(\frac{1}{2}\right)^n \\
\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{32} \\
\left(\frac{1}{2}\right)^n=\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\
n=5$$
Wyszło nam, że ten ciąg ma \(5\) wyrazów, czyli tym samym nasza łamana składa się z \(5\) odcinków.
Krok 3. Obliczenie sumy długości nowej łamanej.
Nowa łamana ma mieć zgodnie z treścią dwa razy więcej odcinków, czyli \(n=2\cdot5=10\). Chcemy obliczyć długość ten nowej łamanej, czyli musimy wyznaczyć teraz \(S_{10}\). Podstawiając zatem dane do wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, otrzymamy:
$$S_{10}=16\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}} \\
S_{10}=16\cdot\frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=16\cdot\frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=16\cdot\frac{1023}{1024}:\frac{1}{2} \\
S_{10}=16\cdot\frac{1023}{1024}\cdot2 \\
S_{10}=\frac{1023}{32}=31\frac{31}{32}$$
Krok 4. Obliczenie o ile procent wzrosłaby suma długości odcinków łamanej.
Bazując na obliczeniu \(S_{5}\) oraz \(S_{10}\) możemy stwierdzić, że długość łamanej wzrosłaby o:
$$S_{10}-S_{5}=31\frac{31}{32}-31 \\
S_{10}-S_{5}=\frac{31}{32}$$
Celem zadania jest podanie wzrostu wyrażonego w procentach, zatem skoro łamana o długości \(31\) wzrosłaby o \(\frac{31}{32}\), to procentowo ten wzrost by wyniósł:
$$\frac{\frac{31}{32}}{31}=\frac{31}{32}:31=\frac{31}{32}\cdot\frac{1}{31}= \\
=\frac{1}{32}=0,03125=3,125\%$$
