Kombinatoryka – zadania maturalne

B

Mamy pięć zup do wyboru i cztery drugie dania, a więc ilość możliwych kombinacji obliczymy wykonując proste mnożenie \(5\cdot4=20\).

C

Zewnętrzne pasy można wybrać na \(10\) różnych sposobów. Wewnętrzne możemy wybrać na \(9\) sposobów, bo zawsze odpadnie nam ten kolor, który jest już w pasie zewnętrznym. Z reguły mnożenia wynika więc, że mamy \(10\cdot9=90\) możliwości utworzenia takiej flagi.

\(5120\) liczb pięciocyfrowych.

Podzielmy sobie nasze cyfry na trzy grupy:
I grupa: Cyfra \(\{7\}\) - w naszej liczbie musi znaleźć się dokładnie jedna siódemka. Jej miejsce możemy określić na \(5\) różnych sposobów:
$$7■■■■ \\
■7■■■ \\
■■7■■ \\
■■■7■ \\
■■■■7$$

II grupa: Cyfry \(\{2,4,6,8\}\) - to wszystkie cyfry parzyste. Wiemy, że w zapisie na dowolnym miejscu musi znaleźć się jedna z nich. Jedno miejsce mamy już obsadzone siódemką, pozostają nam już tylko cztery możliwości. Mamy więc sytuację w której cztery liczby mogą zająć jedno z czterech miejsc, a to z kolei oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia mamy \(4\cdot4=16\) możliwości.

III grupa: Cyfry \(\{1,3,5,9\}\) - to pozostałe cyfry, którymi musimy obsadzić trzy pozostałe miejsca w naszej pięciocyfrowej liczbie. Pierwsze z wolnych miejsc możemy obsadzić na \(4\) sposoby (bo mamy cztery cyfry do wyboru), drugie miejsce także możemy obsadzić na \(4\) sposoby (bo liczby mogą się powtarzać), trzecie wolne miejsce także możemy obsadzić na \(4\) sposoby. Z reguły mnożenia wynika, że mamy \(4\cdot4\cdot4=64\) możliwości.

Teraz musimy ponownie zastosować regułę mnożenia i wymnożyć przez siebie wszystkie otrzymane możliwości, otrzymując w ten sposób:
$$5\cdot16\cdot64=5120$$

Istnieje więc \(5120\) liczb pięciocyfrowych, które spełniają warunki naszego zadania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz na ile różnych sposobów można wpisać cyfry z dwóch grup cyfr (z trzech, które analizowaliśmy).
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz na ile różnych sposobów można wpisać cyfry z trzech grup cyfr (czyli wszystkich, które analizowaliśmy).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Liczby trzycyfrowe podzielne przez \(5\) możemy rozpatrywać jako ciąg arytmetyczny, w którym:
\(a_{1}=100\) (bo jest to najmniejsza liczba trzycyfrowa podzielna przez \(5\))
\(a_{n}=995\) (bo jest to największa liczba trzycyfrowa podzielna przez \(5\))
\(r=5\) (bo każda kolejna liczba jest o \(5\) większa od swojej poprzedniczki)

Otrzymamy zatem:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
995=100+(n-1)\cdot5 \\
895=5n-5 \\
900=5n \\
n=180$$

C

Zadanie można policzyć na dwa sposoby.
I sposób - korzystając z tzw. reguły mnożenia.
Wybierając pierwszego gracza dokonujemy wyboru spośród \(10\) zawodników.
Wybierając drugiego gracza dokonamy wyboru już tylko spośród \(9\) zawodników.
To dałoby nam łączną liczbę kombinacji równą \(10\cdot9=90\), ale to niestety nie jest koniec zadania. Musimy jeszcze zauważyć, że w ten sposób niejako zdublowały nam się poszczególne pary. Przykładowo wybór Lewandowski-Grosicki jest tym samym co wybór Grosicki-Lewandowski, a według tego co obliczyliśmy przed chwilą byłyby to dwie oddzielne kombinacje. Dlatego też musimy jeszcze nasze \(90\) kombinacji podzielić na \(2\) i tak oto otrzymamy odpowiedź, że możemy naszych zawodników wybrać na \(45\) sposobów.

II sposób - korzystając ze wzoru na liczbę kombinacji.
$$C_{10}^2=\binom{10}{2}=\frac{10!}{(10-2)!\cdot2!}=\frac{8!\cdot9\cdot10}{8!\cdot2}=\frac{90}{2}=45$$

D

Przeanalizujmy sobie na ile różnych sposobów możemy wpisać każdą z cyfr tej czterocyfrowej liczby:

Pierwsza cyfra: Skoro liczba ma być czterocyfrowa, ma być większa od \(3000\) i może zawierać tylko cyfry \(1\), \(2\) oraz \(3\), to na pewno na pierwszym miejscu tej liczby musi stać trójka. Na pierwsze miejsce możemy więc wpisać cyfrę tylko na jeden sposób.
Druga cyfra: Tutaj możemy wpisać cyfrę na trzy sposoby, bo mamy aż trzy możliwości: \(1\), \(2\) lub \(3\).
Trzecia cyfra: Tutaj także możemy wpisać cyfrę na trzy różne sposoby.
Czwarta cyfra: Tutaj ponownie mamy trzy różne możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia oznacza to, że wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:
$$|Ω|=1\cdot3\cdot3\cdot3=27$$

D

I sposób - z wykorzystaniem ciągów arytmetycznych.
To chyba najbardziej profesjonalny sposób. Liczby podzielne przez \(3\) tworzą ciąg arytmetyczny, którego \(r=3\), \(a_{1}=12\) (bo \(12\) jest pierwszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(3\)) oraz \(a_{n}=99\). Musimy teraz obliczyć ile wyrazów ma ten ciąg, tak więc skorzystamy z następującego wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
99=12+(n-1)\cdot3 \\
87=3n-3 \\
90=3n \\
n=30$$

II sposób - z wykorzystaniem mnożenia i dzielenia.
Tak naprawdę każdą liczbę podzielną przez \(3\) możemy zapisać jako iloczyny kolejnych liczb naturalnych:
$$3=3\cdot1 \\
6=3\cdot2 \\
... \\
96=3\cdot32 \\
99=3\cdot33$$

Liczb podzielnych mniejszych od \(100\) jest więc \(33\). Musimy od tego odjąć jeszcze trzy sztuki, które dają wyniki jednocyfrowe (\(3,6,9\)) i w ten sposób obliczyliśmy, że liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(3\) jest \(33-3=30\).

\(500\) liczb.

Krok 1. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu naszej liczby.
Zgodnie z treścią zadania pierwsza cyfra musi być parzysta, a więc mogą to być tylko i wyłącznie \(2\), \(4\), \(6\) lub \(8\). Cyfrę \(0\) odrzucamy, bo nie może być pierwszą cyfrą w liczbie.

Krok 2. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu naszej liczby.
Na każdym z pozostałych miejsc możemy mieć jedną z pięciu cyfr nieparzystych: \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) lub \(9\).

Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich możliwych kombinacji.
Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich kombinacji będzie:
$$|Ω|=4\cdot5\cdot5\cdot5=500$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jedynie liczbę cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz jedynie liczbę cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu liczby. (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(720\) liczb.

Krok 1. Wskazanie na ile sposobów można zapisać pierwszą i drugą cyfrę pięciocyfrowej liczby.
Pierwszą cyfrą tej liczby może być każda cyfra oprócz dziewiątki (wynika to z czwartego założenia) oraz oczywiście oprócz zera. To oznacza, że pierwszą cyfrę możemy zapisać na \(8\) sposobów.
Drugą cyfrą tej liczby także nie może być dziewiątka (ponownie wynika to z czwartego założenia), ale tym razem może to już być zero. To oznacza, że drugą cyfrę możemy zapisać na \(9\) sposobów.

Krok 2. Wskazanie na ile sposobów można zapisać trzy ostatnie cyfry pięciocyfrowej liczby.
Musimy teraz ustalić pasujące konfiguracje trzech ostatnich cyfr, które na pewno są parzyste. Po wczytaniu się w treść warunków zauważymy też, że szukamy takich liczb \(s\gt d\gt j\), czyli gdzie setki są większe od dziesiątek, a dziesiątki większe od jedności. Takimi "końcówkami" pięciocyfrowej liczby będą:
$$420 \\
620,640,642 \\
820,840,842,860,862,864$$

Łącznie jest to \(10\) różnych możliwości.

Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro pierwszą cyfrę możemy dobrać na \(8\) sposobów, drugą na \(9\) sposobów, a trzy ostatnie na \(10\) sposobów, to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli liczb spełniających warunki naszego zadania) będzie:
$$|Ω|=8\cdot9\cdot10=720$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że pierwszą cyfrę można zapisać na \(8\) sposobów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że drugą cyfrę można zapisać na \(9\) sposobów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że trzy ostatnie cyfry można zapisać na \(10\) sposobów (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz dwie z trzech rzeczy wartych jeden punkt.
3 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie trzy rzeczy warte jeden punkt.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(630\)

Krok 1. Wypisanie wariantów, w których cyfra jedności jest o o \(3\) większa od cyfry setek.
Wypiszmy sobie wszystkie możliwe warianty, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek:
$$■0■3 \\
■1■4 \\
■2■5 \\
■3■6 \\
■4■7 \\
■5■8 \\
■6■9$$

To oznacza, że mamy \(7\) różnych zapisów drugiej i czwartej cyfry jednocześnie.

Krok 2. Wskazanie na ile sposobów można wpisać pierwszą i trzecią cyfrę liczby.
Teraz zastanówmy się, na ile sposobów możemy wpisać pierwszą i trzecią cyfrę tej liczby. Pierwszą liczbę możemy wpisać na \(9\) różnych sposobów, bo pasują nam wszystkie cyfry od \(1\) do \(9\) (czyli wszystkie oprócz zera). Trzecią liczbę możemy wpisać już na \(10\) sposobów, bo tutaj może pojawić się zero.

Krok 3. Obliczenie ilości liczb, które spełniają warunki zadania.
Z obliczeń przeprowadzonych w kroku pierwszym i drugim wynika, że wszystkich poszukiwanych liczb czterocyfrowych będzie zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=7\cdot9\cdot10=630$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wypiszesz wszystkie możliwe warianty, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wskażesz na ile sposobów można wpisać pierwszą i trzecią cyfrę liczby (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.