Poznałeś już sposoby na to jak określić czy dana liczba jest podzielna przez 2, 3, 4, 5, 9, 10 – i tu pewnie pojawia się pytanie: Co zrobić w sytuacji, kiedy potrzebujemy znać podzielność liczb przez np. 6, 7, 8 albo jakąkolwiek inną liczbę?
Powiem Ci wprost, że to już nie jest takie łatwe i w zasadzie ten temat powinniśmy potraktować już bardziej w formie ciekawostki. Na dole tego tematu znajdziesz pełną rozpiskę cech podzielności liczb. Niektóre z nich wiążą się z podzielnością przez inne liczby i tak jest w przypadku podzielności liczb np. przez \(6\), bowiem aby liczba była podzielna przez \(6\), to musi być JEDNOCZEŚNIE podzielna przez \(2\) i \(3\). Przykładowo:
- \(12\) jest podzielne zarówno przez \(2\) jak i \(3\), więc będzie też podzielne przez \(6\)
- \(30\) jest podzielne zarówno przez \(2\) jak i \(3\), więc będzie też podzielne przez \(6\)
- \(33\) jest podzielne tylko przez \(3\), a przez \(2\) już nie, więc NIE będzie podzielne przez \(6\)
Podobnie jest z podzielnością liczb przez \(12\). Liczba będzie podzielna przez \(12\), jeśli będzie jednocześnie podzielna przez \(3\) i \(4\).
- \(24\) jest podzielne zarówno przez \(3\) jak i \(4\), więc będzie też podzielne przez \(12\).
- \(72\) jest podzielne zarówno przez \(3\) jak i \(4\), więc będzie też podzielne przez \(12\).
- \(80\) jest podzielne tylko przez \(4\), a przez \(3\) już nie, więc NIE będzie podzielne przez \(12\).
Ale co zrobić w sytuacji gdy musimy przykładowo określić, czy liczba \(714\) jest podzielna przez \(7\)? Albo czy \(424\) jest podzielne przez \(8\)?
Jeśli zostaniesz postawiony przed takim zadaniem to moja rada jest dość prosta – spróbuj rozbić daną liczbę na sumę dwóch liczb, które łatwo pozwolą Ci zweryfikować czy cała liczba będzie podzielna. Przykładowo:
Krok 1. \(714=700+14\)
Krok 2. \(700\) jest na pewno podzielne przez \(7\) (bo \(700:7=100\))
Krok 3. \(14\) także jest podzielne przez \(7\) (bo \(14:7=2\))
Krok 4. Wiemy więc, że \(714\) będzie podzielne przez \(7\) i jeszcze znamy wynik tego działania, bo będzie to \(102\).
Krok 1. \(424\) rozbijemy na \(400+24\)
Krok 2. \(400\) jest na pewno podzielne przez \(8\) (bo \(40:8=5\), więc \(400:8=50\))
Krok 3. \(24\) też jest podzielne przez \(8\) (bo \(24:8=3\))
Krok 4. W ten oto sposób wiemy, że liczba \(424\) jest podzielna przez \(8\) i jeszcze w szybki sposób jesteśmy w stanie podać wynik takiego dzielenia (\(53\)).
Czasami takie rozbicia na sumy są łatwiejsze, czasami trudniejsze, ale praktyka pokazuje że praktycznie zawsze możemy sprytnie obejść dany problem i w ten sposób poznać odpowiedź na nurtujące nas pytanie.
Na koniec mam dla Ciebie rozpiskę, która w formie ciekawostki pokaże Ci sposób na określenie cech podzielności liczb:
Liczba jest podzielna przez \(2\), gdy liczba kończy się na \(2, 4, 6, 8\) lub \(0\).
Liczba jest podzielna przez \(3\), gdy suma cyfr liczby jest podzielna przez \(3\).
Liczba jest podzielna przez \(4\), gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez \(4\).
Liczba jest podzielna przez \(5\), gdy liczba kończy się na \(0\) lub \(5\).
Liczba jest podzielna przez \(6\), gdy liczba dzieli się na \(2\) i \(3\).
Liczba jest podzielna przez \(7\), gdy różnica między liczbą składającą się z trzech ostatnich cyfr liczby, a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) dzieli się przez \(7\).
Liczba jest podzielna przez \(8\), gdy liczba składająca się z trzech ostatnich cyfr dzieli się na \(8\).
Liczba jest podzielna przez \(9\), gdy suma cyfr liczby dzieli się na \(9\).
Liczba jest podzielna przez \(10\), gdy liczba zakończona jest na \(0\).
Liczba jest podzielna przez \(11\), gdy różnica między sumą cyfr znajdujących się na miejscach parzystych (czyli drugim, czwartym, szóstym…) i sumą cyfr na miejscach nieparzystych (czyli pierwszym, trzecim piątym…) jest równa \(0\) lub jest wielokrotnością liczby \(11\) albo \(-11\).
Liczba jest podzielna przez \(12\), gdy dzieli się jednocześnie przez \(3\) i \(4\).
Liczba jest podzielna przez \(15\), gdy dzieli się jednocześnie przez \(3\) i \(5\).
Dzielenie przez \(0\) jest niemożliwe.
Zadania kontrolne:
- Odpowiedź: \(124\) jest podzielne przez \(4\), ale nie jest podzielne przez \(3\), więc na pewno ta liczba nie jest podzielna przez \(12\).
Poza tym wiemy, że \(120\) jest podzielne przez \(12\), więc podzielne będą także np. \(108\) czy \(132\), a nie \(124\).
- Odpowiedź: Tak!
\(147 = 140+7\)
\(140\) jest podzielne przez \(7\)
\(7\) także jest podzielne przez \(7\)
więc \(147\) musi być podzielne przez \(7\)
Poniżej znajdziesz omówienie podstawowych cech podzielności:
No a na 11?
Przecież masz napisane w tekście :D
Jeśli naprzemienna różnica po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych jest podzielna przez 11 lub jest równa 0.
Przykłady:
121 – 2-1+1=2-2=0
1969 – 9+9-1+6=18-7=11
Wielkie Dzięki
Bardzo pomocne :-)
dobrze się postarałeś twórco, mam nadzieje że będziesz robić więcej takich stron pomocniczych. DZIĘKUJE
Tak nie za bardzo rozumiem tą cechę podzielności przez 11 :/
To rzeczywiście najbardziej pokręcona definicja :(
Przykładowo jak mamy liczbę 9625, to suma cyfr na miejscach parzystych jest równa 6+5=11, a suma cyfr na miejscach nieparzystych jest równa 9+2=11. Różnica między tymi wynikami jest równa 11-11=0. To oznacza, że liczba jest podzielna przez 11 ;)
Można prościej: kolejne cyfry naprzemiennie odejmujemy i dodajemy. W podanym przykładzie wystarczy (w głowie) obliczyć 9-6+2-5 = 3+2-5 = 5-5 = 0
Można dopisać informację że cecha podzielności przez 13 jest taka sama jak dla 7 :)
Istnieje z pozoru zakręcona, ale w istocie niezbyt trudna metoda uniwersalna sprawdzania podzielności np. przez 7, 11, 13, 17, 19… Jedynym jej ograniczeniem jest to, aby dowolna wielokrotność dzielnika miała jako ostatnią cyfrę 1 lub 9. Np. podzielności przez 5 nie da się sprawdzić tą metodą, bo kolejne wielokrotności piątki to 5, 10, 15, 20… Jak widać, ich ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. Ale już podzielność przez 7 jak najbardziej można sprawdzić tą metodą, bo przecież 3·7 = 21 ma jedynkę na miejscu jedności. Zaczynamy od znalezienia takich wielokrotności. Dla 7 będzie to 21 i 49 (może być 1… Czytaj więcej »
Uhuhu…. ale namieszałeś, chopie. Komu się będzie chciało to analizować i powielać ?
Gdy patrzyłam na inne strony nie mogłam zrozumieć tych zasad a tu mi się udało
Dzięki!
Fajne Dzięki!