Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6

D

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy sześciokąt foremny o boku długości \(6\). Jeśli nie pamiętamy jaki jest wzór na pole sześciokąta, to wystarczy skojarzyć, że taki sześciokąt foremny możemy podzielić na \(6\) trójkątów równobocznych:


Pole pojedynczego trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem pole całego sześciokąta będzie sześciokrotnie większe, czyli:
$$P_{p}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot\frac{36\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot9\sqrt{3} \\
P_{p}=54\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Ściany boczne naszego graniastosłupa będą kwadratami o boku \(6\). Mamy sześć takich ścian, zatem pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b}=6\cdot6\cdot6 \\
P_{b}=216$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na pole powierzchni całkowitej składać się będą dwa pola podstawy oraz pole powierzchni bocznej, zatem:
$$P_{c}=2\cdot54\sqrt{3}+216 \\
P_{c}=216+108\sqrt{3}$$

\(cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Musimy pamiętać, że sześciokąt foremny (który znajduje się w podstawie) ma tak zwane dłuższe i krótsze przekątne. Nas interesuje ta dłuższa przekątna:


W takim razie interesujący nas kąt nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy wygląda następująco:


Krok 2. Obliczenie długości dłuższej przekątnej podstawy.
Zgodnie ze szkicem z pierwszego kroku możemy stwierdzić, że dłuższa przekątna jest dwa razy dłuższa od krawędzi sześcianu, czyli ma ona długość:
$$d=2\cdot6=12$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Spoglądamy na rysunek szkicowy graniastosłupa i na kluczowy trójkąt prostokątny, który został tam zaznaczony. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$12^2+6^2=s^2 \\
144+36=s^2 \\
s^2=180 \\
s=\sqrt{180} \quad\lor\quad s=-\sqrt{180}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, ponieważ długość przekątnej musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(s=\sqrt{180}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5}\).

Krok 4. Obliczenie cosinusa kąta.
Cosinus to stosunek długość przyprostokątnej leżącej przy kącie, względem przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}} \\
cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$$

Otrzymany wynik jest poprawny, ale możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$