Rozwiązanie
Aby dodać do siebie dwa ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu trzeba byłoby licznik i mianownik pierwszego ułamka pomnożyć przez wartość mianownika z ułamka drugiego, no i analogicznie licznik i mianownik ułamka drugiego trzeba przemnożyć przez mianownik ułamka pierwszego. W praktyce będzie to wyglądać w następujący sposób:
$$\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}+\frac{1+cos\alpha}{sin\alpha}= \\
=\frac{sin\alpha\cdot sin\alpha}{(1+cos\alpha)\cdot sin\alpha}+\frac{(1+cos\alpha)\cdot(1+cos\alpha)}{sin\alpha\cdot(1+cos\alpha)}= \\
=\frac{sin^2\alpha}{sin\alpha+sin\alpha\cdot cos\alpha}+\frac{1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha+sin\alpha\cdot cos\alpha}= \\
=\frac{sin^2\alpha+1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha+sin\alpha\cdot cos\alpha}$$
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) i taką sytuację mamy właśnie w liczniku naszego ułamka. Zamieniając więc \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) na jedynkę i kontynuując nasz zapis, dojdziemy do następującej postaci:
$$\frac{2+2cos\alpha}{sin\alpha+sin\alpha\cdot cos\alpha}= \\
=\frac{2\cdot(1+cos\alpha)}{sin\alpha\cdot(1+cos\alpha)}=\frac{2}{sin\alpha}$$
