Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Do zadania możemy podejść na różne sposoby. Możemy skorzystać z jedynki trygonometrycznej i obliczyć w ten sposób wartość cosinusa, a potem dzieląc sinus przez cosinus obliczymy wartość tangensa. Można też zastosować drugi sposób, który sprawdzi się tutaj znacznie lepiej - wykorzystamy trójkąt prostokątny. Wiedząc, że \(sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\) możemy przyjąć, że przyprostokątna naprzeciwko kąta \(\alpha\) ma długość \(\sqrt{5}x\), natomiast przeciwprostokątna będzie równa \(3x\):
Uwaga: Nie możemy pisać, że przyprostokątna ma długość \(\sqrt{5}\), a przeciwprostokątna \(3\), bo równie dobrze te boki mogłyby miec odpowiednio miary \(2\sqrt{5}\) oraz \(6\) i wtedy też sinus byłby równy \(\frac{\sqrt{5}}{3}\). Dlatego też precyzyjniej jest stosować zapisy z niewiadomą \(x\).
Krok 2. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Do poznania wartości tangensa potrzebujemy jeszcze długości drugiej przyprostokątnej, a poznamy ją korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{5}x)^2+b^2=(3x)^2 \\
5x^2+b^2=9x^2 \\
b^2=4x^2 \\
b=2x \quad\lor\quad b=-2x$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(b=2x\).
Krok 3. Obliczenie tangensa.
Znając długości obydwu przyprostokątnych, możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{\sqrt{5}x}{2x} \\
tg\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}$$
