Rozwiązanie
Po lewej stronie równania mamy dodawanie, a więc musimy sprowadzić te ułamki do wspólnego mianownika. W tym celu musimy wymnożyć licznik oraz mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka i analogicznie licznik i mianownik drugiego ułamka musimy pomnożyć przez mianownik ułamka pierwszego. Całość obliczeń wyglądałaby następująco:
$$\frac{1\cdot cos^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}+\frac{1\cdot sin^2\alpha}{cos^2\alpha\cdot sin^2\alpha}=\frac{64}{9} \\
\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}+\frac{sin^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}=\frac{64}{9} \\
\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}=\frac{64}{9}$$
W liczniku ułamka powstała nam tak zwana jedynka trygonometryczna, tak więc:
$$\frac{1}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}=\frac{64}{9} \quad\bigg/\cdot sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha \\
1=\frac{64}{9}\cdot sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha \quad\bigg/\cdot\frac{9}{64} \\
\frac{9}{64}=sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha \\
(sin\alpha\cdot cos\alpha)^2=\frac{9}{64} \\
sin\alpha\cdot cos\alpha=\frac{3}{8} \quad\lor\quad sin\alpha\cdot cos\alpha=-\frac{3}{8}$$
Z treści zadania wynika, że kąt \(\alpha\) jest ostry, a to oznacza, że sinus oraz cosinus są dodatnie, więc ich iloczyn także daje liczbę dodatnią. W związku z tym ujemne rozwiązanie musimy odrzucić i zostaje nam jedynie \(sin\alpha\cdot cos\alpha=\frac{3}{8}\).
