Kąt alfa jest ostry oraz 1/sin^2 alfa+1/cos^2 alfa=16/9

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\frac{1}{sin^2\alpha}+\frac{1}{cos^2\alpha}=\frac{16}{9}\). Wartość wyrażenia \(sin\alpha\cdot cos\alpha\) jest równa:

Rozwiązanie

Po lewej stronie równania mamy dodawanie, a więc musimy sprowadzić te ułamki do wspólnego mianownika. W tym celu musimy wymnożyć licznik oraz mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka i analogicznie licznik i mianownik drugiego ułamka musimy pomnożyć przez mianownik ułamka pierwszego. Całość obliczeń wyglądałaby następująco:
$$\frac{1\cdot cos^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}+\frac{1\cdot sin^2\alpha}{cos^2\alpha\cdot sin^2\alpha}=\frac{16}{9} \\
\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}+\frac{sin^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}=\frac{16}{9} \\
\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}=\frac{16}{9}$$

W liczniku ułamka powstała nam tak zwana jedynka trygonometryczna, tak więc:
$$\frac{1}{sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha}=\frac{16}{9} \quad\bigg/\cdot sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha \\
1=\frac{16}{9}\cdot sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha \quad\bigg/\cdot\frac{9}{16} \\
\frac{9}{16}=sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha \\
(sin\alpha\cdot cos\alpha)^2=\frac{9}{16} \\
sin\alpha\cdot cos\alpha=\frac{3}{4} \quad\lor\quad sin\alpha\cdot cos\alpha=-\frac{3}{4}$$

Z treści zadania wynika, że kąt \(\alpha\) jest ostry, a to oznacza, że sinus oraz cosinus są dodatnie, więc ich iloczyn także daje liczbę dodatnią. W związku z tym ujemne rozwiązanie musimy odrzucić i zostaje nam jedynie \(sin\alpha\cdot cos\alpha=\frac{3}{4}\).

Tak na marginesie, mała ciekawostka związana z tym zadaniem - prawdę mówiąc, wynik \(\frac{3}{4}\) także powinniśmy odrzucić, ponieważ iloczyn sinusa i cosinusa tego samego kąta ostrego nigdy nie da wyniku większego niż \(\frac{1}{2}\). Jak to więc możliwe, że otrzymaliśmy taki wynik? Stało się tak, ponieważ równanie z treści zadania jest niepoprawne. Tak naprawdę nie istnieje jakikolwiek kąt ostry, który spełniałby to równanie, mimo iż sam zapis wydaje się na pierwszy rzut oka poprawny. Z czysto matematycznego punktu widzenia, to zadanie nie powinno mieć rozwiązania.

Odpowiedź

B

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments