Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Z treści zadania wynika, że \(tg\alpha=2\). Tangens odpowiada za stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, a skoro tak, to pierwsza przyprostokątna (leżąca naprzeciwko kąta \(\alpha\)) ma długość \(2x\), a druga przyprostokątna ma długość \(x\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że przeciwprostokątna ma długość:
$$(2x)^2+x^2=c^2 \\
4x^2+x^2=c^2 \\
5x^2=c^2 \\
c=\sqrt{5x^2} \quad\lor\quad c=-\sqrt{5x^2}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{5x^2}\).
Krok 2. Obliczenie wartości \(sin^2\alpha\).
Sinus odpowiada za stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) (która ma u nas długość \(2x\)), względem przeciwprostokątnej (która ma długość \(c=\sqrt{5x^2}\). Skoro tak, to:
$$sin\alpha=\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}$$
Nas interesuje \(sin^2\alpha\), zatem całość musimy podnieść do kwadratu, co znacząco uprości cały zapis:
$$sin^2\alpha=\left(\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}\right)^2 \\
sin^2\alpha=\frac{(2x)^2}{(\sqrt{5x^2})^2} \\
sin^2\alpha=\frac{4x^2}{5x^2} \\
sin^2\alpha=\frac{4}{5}$$
Można zrobić to dużo szybciej używając jedynki trygonometrycznej. Pozdrawiam
Dużo szybciej to może nie, ale faktycznie jedynka trygonometryczna sprawdzi się tutaj bardzo dobrze :)