Kąt alfa jest ostry i tg alfa=2. Oblicz wartość wyrażenia sin^2 alfa

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg\alpha=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(sin^2\alpha\).

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Z treści zadania wynika, że \(tg\alpha=2\). Tangens odpowiada za stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, a skoro tak, to pierwsza przyprostokątna (leżąca naprzeciwko kąta \(\alpha\)) ma długość \(2x\), a druga przyprostokątna ma długość \(x\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że przeciwprostokątna ma długość:
$$(2x)^2+x^2=c^2 \\
4x^2+x^2=c^2 \\
5x^2=c^2 \\
c=\sqrt{5x^2} \quad\lor\quad c=-\sqrt{5x^2}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{5x^2}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(sin^2\alpha\).
Sinus odpowiada za stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) (która ma u nas długość \(2x\)), względem przeciwprostokątnej (która ma długość \(c=\sqrt{5x^2}\). Skoro tak, to:
$$sin\alpha=\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}$$

Nas interesuje \(sin^2\alpha\), zatem całość musimy podnieść do kwadratu, co znacząco uprości cały zapis:
$$sin^2\alpha=\left(\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}\right)^2 \\
sin^2\alpha=\frac{(2x)^2}{(\sqrt{5x^2})^2} \\
sin^2\alpha=\frac{4x^2}{5x^2} \\
sin^2\alpha=\frac{4}{5}$$

Odpowiedź

\(sin^2\alpha=\frac{4}{5}\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments