Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=2\). Oblicz \(\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}\).
Rozwiązanie:
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Możemy spokojnie przekształcać wszystkie zapisy, bo wiemy że kąt \(α\) jest ostry, a więc nie ma obaw że wykonamy dzielenie przez \(0\), bo \(sinα\gt0\) oraz \(cosα\gt0\).
Krok 1. Zapisanie wartości sinusa.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie powyżej:
$$\frac{sinα}{cosα}=2 \\
sinα=2cosα$$
Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Do naszego wyrażenia z treści zadania podstawiamy teraz \(sinα=2cosα\), dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{sinα-cosα}{sinα+cosα}=\frac{2cosα-cosα}{2cosα+cosα}=\frac{cosα}{3cosα}=\frac{1}{3}$$
Odpowiedź:
Wartość wyrażenia jest równa \(\frac{1}{3}\).
