Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{2}{3}\). Wtedy:
Zanim zaczniemy liczyć to mała podpowiedź. Jeśli nie umiemy obliczyć tego zadania w matematyczny sposób, to wystarczy w tablicach sprawdzić jaki kąt ostry ma tangens równy (lub bliski) \(\frac{2}{3}\). Następnie jeśli już wiemy jaki to jest mniej więcej kąt to możemy sprawdzić w tablicach jaką wartość przyjmuje on dla funkcji sinus. Na koniec na kalkulatorze sprawdzimy która z tych czterech odpowiedzi daje przybliżenie najbliższe odczytowi z tablicy i tak oto zadanie będzie rozwiązane poprawnie. Zobaczmy jednak jak do tego zadania podejść w sposób matematyczny.
Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Użyjemy tej własności, bo musimy doprowadzić nasz wynik do sinusa. Zatem:
$$tgα=\frac{2}{3} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3}$$
Mnożąc to na krzyż otrzymamy:
$$3sinα=2cosα$$
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). To oznacza, że moglibyśmy sobie wyznaczyć z równania z pierwszego kroku wartość cosinusa, a następnie podstawilibyśmy ją do jedynki trygonometrycznej i wtedy otrzymalibyśmy wartość sinusa. Zatem:
$$3sinα=2cosα \\
cosα=\frac{3}{2}sinα$$
Podstawiamy teraz to do jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{3}{2}sinα\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{9}{4}sin^2α=1 \\
\frac{13}{4}sin^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{13} \\
sin^2α=\frac{4}{13} \\
sinα=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$
(Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry to nie bierzemy pod uwagę ujemnego rozwiązania, które wyszłoby nam z równania kwadratowego \(sin^2α=\frac{4}{13}\), bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie).
C. \(sinα=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)
Jak wyszło 13/4 ?
sin^2 alfa to tak naprawdę 1 sinus^2 alfa. Masz więc dodawanie 1 plus ułamek 9/4. No a jak się dodaje ułamki zwykłe? Musimy mieć jednakowy mianownik, czyli 1 zamieniamy na 4/4 i mamy 4/4+9/4 co daje wynik 13/4 :)