Kąt alfa jest ostry i spełniona jest równość sin alfa+cos alfa=√7/2. Oblicz wartość wyrażenia

Kąt \(α\) jest ostry i spełniona jest równość \(sinα+cosα=\frac{\sqrt{7}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \((sinα-cosα)^2\).

Rozwiązanie

Podnosząc do kwadratu sumę \(sinα+cosα\) otrzymamy:
$$sinα+cosα=\frac{\sqrt{7}}{2} \\
(sinα+cosα)^2=\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 \\
sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=\frac{7}{4} \\
sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=\frac{7}{4} \\
1+2sinαcosα=\frac{7}{4} \\
2sinαcosα=\frac{3}{4}$$

Teraz wiedząc, że \(2sinαcosα=\frac{3}{4}\) możemy zapisać, że:
$$(sinα-cosα)^2=sin^2α-2sinαcosα+cos^2α= \\
=sin^2α+cos^2α-2sinαcosα=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$

Odpowiedź

\(\frac{1}{4}\)

Dodaj komentarz