Kąt alfa jest ostry i sin alfa=√3/3. Wtedy wartość wyrażenia 2cos^2 alfa-1 jest równa

Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wtedy wartość wyrażenia \(2cos^2α-1\) jest równa:

\(0\)
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{5}{9}\)
\(1\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cos^2α\).

W zadaniu wykorzystamy tak zwaną jedynkę trygonometryczną:
$$sin^2α+cos^2α=1$$

Widzimy że w poszukiwanym wyrażeniu pojawia się \(cos^2α\), więc spróbujmy wyznaczyć jego wartość, podstawiając do jedynki trygonometrycznej \(sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}\):
$$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{3}{9}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{6}{9} \\
cosα=\frac{2}{3} \quad\lor\quad cosα=-\frac{2}{3}$$

Ujemną wartość cosinusa odrzucamy, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje jedynie dodatnie wartości.

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2cos^2α-1\).

Znając wartość \(cos^2α\) możemy bez problemu obliczyć wartość całego wyrażenia:
$$2cos^2α-1=2\cdot\frac{2}{3}-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$$

Odpowiedź:

B. \(\frac{1}{3}\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.