Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wtedy wartość wyrażenia \(2cos^2α-1\) jest równa:
\(0\)
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{5}{9}\)
\(1\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cos^2α\).
W zadaniu wykorzystamy tak zwaną jedynkę trygonometryczną:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
Widzimy że w poszukiwanym wyrażeniu pojawia się \(cos^2α\), więc spróbujmy wyznaczyć jego wartość, podstawiając do jedynki trygonometrycznej \(sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}\):
$$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{3}{9}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{6}{9}$$
Wartości „czystego” cosinusa obliczać już nie musimy, bo nam do wyrażenia potrzebna jest wartość \(cos^2α\).
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2cos^2α-1\).
Znając wartość \(cos^2α\) możemy bez problemu obliczyć wartość całego wyrażenia:
$$2cos^2α-1=2\cdot\frac{6}{9}-1=\frac{12}{9}-1=\frac{1}{3}$$
Odpowiedź:
B. \(\frac{1}{3}\)
skąd się wzięło cos2a=6/9
Obustronnie odejmujemy 3/9 (tak aby po lewej stronie mieć tylko cos2a), więc po lewej stronie mamy 1 – 3/9, co daje wynik właśnie 6/9 :)