Kąt alfa jest ostry i cos alfa=√7/4. Oblicz wartość wyrażenia 2+sin^3 alfa+sin alfa*cos^2 alfa

Kąt \(α\) jest ostry i \(cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2+sin^3α+sinα\cdot cos^2α\).

Skorzystamy tutaj z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{7}{16}=1 \\
sin^2α=\frac{9}{16} \\
sinα=\sqrt{\frac{9}{16}} \quad\lor\quad sinα=\sqrt{\frac{9}{16}} \\
sinα=\frac{3}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{4}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(sinα=\frac{3}{4}\).

Znając wartości sinusa i cosinusa możemy oczywiście od razu przystąpić do podstawiania tych wartości do naszego wyrażenia. Jednak zamiast wykonywania tych długich obliczeń moglibyśmy się pokusić o uproszczenie całego wyrażenia, wyłączając przed nawias wartość \(sinα\). Nie jest to rzecz obowiązkowa, ale jak się za chwilę okaże – znacznie upraszcza to wszystkie rachunki.
$$2+sin^3α+sinα\cdot cos^2α= \\
=2+sinα\cdot(sin^2α+cos^2α)= \\
=2+sinα\cdot1=2+sinα$$

Znając wartość sinusa możemy już bez przeszkód podać wynik tego zadania:
$$2+sinα=2+\frac{3}{4}=2\frac{3}{4}$$

Wartość wyrażenia jest równa \(2\frac{3}{4}\).