Kąt alfa jest kątem ostrym takim, że sin^2 alfa-cos^2 alfa=1/2

Kąt \(α\) jest kątem ostrym takim, że \(sin^2α-cos^2α=\frac{1}{2}\). Zatem:

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości \(cosα\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), czyli że \(sin^2α=1-cos^2α\). Podstawiając to do naszego równania otrzymamy:
$$sin^2α-cos^2α=\frac{1}{2} \\
1-cos^2α-cos^2α=\frac{1}{2} \\
-2cos^2α=-\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot-\frac{1}{2} \\
cos^2α=\frac{1}{4} \\
cosα=\frac{1}{2} \quad\lor\quad cosα=-\frac{1}{2}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo z treści zadania wynika że \(α\) jest kątem ostrym, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie.

Krok 2. Odczytanie z tablic miary kąta.
Musimy jeszcze ustalić jaka jest miara kąta \(α\). Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta \(60°\), zatem kąt \(α\) mieści się w przedziale \(51°\lt α \lt70°\).

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz