Jeżeli sinus kąta ostrego alfa wynosi 2√3/5, to wartość tangensa kąta ostrego alfa jest równa

Krok 1. Obliczenie wartości cosinusa.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4\cdot3}{25}+cos^2α=1 \\
\frac{12}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{13}{25} \\
cosα=\sqrt{\frac{13}{25}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{13}{25}}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(cosα=\sqrt{\frac{13}{25}}\), co możemy jeszcze zapisać jako \(cosα=\frac{\sqrt{13}}{5}\) .

Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{5}}{\frac{\sqrt{13}}{5}} \\
tgα=\frac{2\sqrt{3}}{5}:\frac{\sqrt{13}}{5} \\
tgα=\frac{2\sqrt{3}}{5}\cdot\frac{5}{\sqrt{13}} \\
tgα=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} \\
tgα=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}} \\
tgα=\frac{2\sqrt{39}}{13}$$

A