Jeżeli najmniejsza z liczb a, b i c jest równa 9, to największa z tych liczb jest równa:

Trójki liczb naturalnych $a$, $b$ i $c$ które spełniają warunek $a^2+b^2=c^2$ nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:

$$a=2n+1 \quad\quad\quad b=2n(n+1) \quad\quad\quad c=2n^2+2n+1$$

gdzie $n$ oznacza dowolną liczbę naturalną ($n\ge1$). W zadaniach 8. i 9. liczby $a$, $b$ i $c$ są wyznaczone za pomocą tych wzorów.

Jeżeli najmniejsza z liczb $a$, $b$ i $c$ jest równa $9$, to największa z tych liczb jest równa:

A. $41$

B. $73$

C. $145$

D. $181$

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie, która liczba jest najmniejsza, a która największa.
Rozpiszmy każdą z liczb, tak aby móc ustalić, która z nich jest najmniejsza, a która największa:
$a=2n+1$
$b=2n(n+1)=2n^2+2n$
$c=2n^2+2n+1$

Zwróćmy uwagę, że w każdej liczbie pojawia się suma dodatnich liczb, z których jedna jest równa $2n$. W pierwszej liczbie do tej wartości $2n$ dodajemy dodatkowo $1$, w drugiej $2n^2$, a w trzeciej $2n^2+1$. To prowadzi nas do wniosku, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną, to najmniejszą z podanych liczb będzie $a$, natomiast największą będzie $c$.

Krok 2. Obliczenie wartości największej liczby.
Najmniejszą ze wszystkich liczb jest $a$, która jest opisana jako $2n+1$. Skoro jest ona równa $9$, to:
$$2n+1=9 \\
2n=8 \\
n=4$$

Największą liczbą jest $c$ i jest ona opisana jako $2n^2+2n+1$. Skoro więc $n=4$, to:
$$2\cdot4^2+2\cdot4+1=2\cdot16+8+1=32+8+1=41$$

Odpowiedź