Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy 4/7

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Rozwiązanie:
Krok 1. Stworzenie układu równań.

Oznaczmy sobie nasz poszukiwany ułamek jako \(\frac{x}{y}\). Na podstawie treści zadania możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
\frac{x+\frac{1}{2}x}{y+\frac{1}{2}y}=\frac{4}{7} \\
\frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2}
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.

Układ możemy próbować rozwiązać na wiele sposobów, ale chyba najprościej będzie zacząć od mnożenia na krzyż w pierwszym i drugim równaniu.
\begin{cases}
7\cdot(x+\frac{1}{2}x)=4\cdot(y+\frac{1}{2}x) \\
2\cdot(x+1)=1\cdot(y+1)
\end{cases}\begin{cases}
7x+\frac{7}{2}x=4y+2x \quad\bigg/\cdot2 \\
2x+2=y+1
\end{cases}\begin{cases}
14x+7x=8y+4x \\
2x+1=y \quad\bigg/\cdot(-8)
\end{cases}\begin{cases}
17x=8y \\
-16x-8=-8y
\end{cases}

Dzięki sprytnemu pomnożeniu obu stron przez \(-8\) możemy teraz dodać do siebie obie strony równania i pozbyć się w ten sposób niewiadomej \(y\). Oczywiście można też byłoby zastosować tutaj metodę podstawiania i podstawić \(y=2x+1\) z drugiego równania do równania pierwszego. Finalnie uzyskamy ten sam efekt:
$$x-8=0 \\
x=8$$

Krok 3. Obliczenie wartości mianownika poszukiwanego ułamka.

Znamy już wartość licznika (\(x=8\)), więc podstawmy go pod dowolnie wybrane równanie z układu równań i obliczmy w ten sposób niewiadomą \(y\):
$$17x=8y \\
17\cdot8=8y \\
y=17$$

To oznacza, że poszukiwanym ułamkiem jest \(\frac{8}{17}\).

Odpowiedź:

\(\frac{8}{17}\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.