Rozwiązanie
Krok 1. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Z własności funkcji wynika, że oś symetrii przebiega dokładnie po środku między jednym i drugim miejscem zerowym funkcji kwadratowej. Skoro więc pierwszym miejscem zerowym jest \(x=-2\), to drugim miejscem zerowym musi być \(x=6\), co bardzo dobrze widać na poniższym rysunku:
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając obydwa miejsca zerowe możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej typu \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). W takim razie:
$$f(x)=a(x-(-2))(x-6) \\
f(x)=a(x+2)(x-6)$$
Brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\), ale możemy go odczytać z postaci ogólnej zapisanej w treści zadania, czyli zapisu \(f(x)=x^2+bx+c\). Przed \(x^2\) nie mamy żadnej liczby, czyli domyślnie stoi tam jedynka, czyli \(a=1\). To oznacza, że pełnym wzorem funkcji w postaci iloczynowej będzie \(f(x)=1\cdot(x+2)(x-6)\), czyli po prostu \(f(x)=(x+2)(x-6)\).
Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej.
Mając wzór w postaci iloczynowej, wystarczy przemnożyć przez siebie nawiasy i otrzymamy wtedy postać ogólną, zatem:
$$f(x)=(x+2)(x-6) \\
f(x)=x^2-6x+2x-12 \\
f(x)=x^2-4x-12$$
To oznacza, że poszukiwanymi współczynnikami są: \(b=-4\) oraz \(c=-12\).
