Ilość miejsc zerowych funkcji f określonej wzorem f(x)=2x+4 dla x∈(-∞,-1> oraz x^2-1 dla x∈(-1,3)

Ilość miejsc zerowych funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\begin{cases} 2x+4\quad \text{ dla } x\in (-\infty,-1 \rangle\\ x^2-1\quad \text{ dla } x\in (-1 ,3)\\ x+5\quad \text{ dla } x\in \langle 3,+\infty) \end{cases}\) wynosi:

Rozwiązanie

Nasza funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Musimy więc każdy z tych wzorów przyrównać do zera i sprawdzić, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.

Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$2x+4=0 \\
2x=-4 \\
x=-2$$

Ta wartosć mieści się w przedziale \((-\infty,-1\rangle\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym.

Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$x^2-1=0 \\
x^2=1 \\
x=-1 \quad\lor\quad x=1$$

Wartość \(x=-1\) nie mieści się w przedziale \((-1,3)\), za to drugie rozwiązanie \(x=1\) się w tym przedziale mieści, czyli tylko \(x=1\) jest miejscem zerowym.

Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$x+5=0 \\
x=-5$$

Wartość \(x=-5\) nie mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem nie jest ona miejscem zerowym.

Krok 4. Obliczenie liczby miejsc zerowych.
Z naszym obliczeń wynika zatem, że tylko \(x=-2\) oraz \(x=1\) są miejscami zerowymi, zatem ta funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz