Ile liczb całkowitych należy do zbioru rozwiązań nierówności x-1≤x(x-1)-x^2/2≤1

Ile liczb całkowitych należy do zbioru rozwiązań nierówności \(x-1\le\frac{x(x-1)-x^2}{2}\le1\)?

Rozwiązanie

W tym przykładzie dobrze jest na początku wymnożyć licznik naszego ułamka i uprościć w ten sposób cały zapis:
$$x-1\le\frac{x(x-1)-x^2}{2}\le1 \\
x-1\le\frac{x^2-x-x^2}{2}\le1 \\
x-1\le\frac{-x}{2}\le1$$

Teraz możemy dla przejrzystości działań rozbić ten zapis na dwie nierówności:
$$x-1\le\frac{-x}{2} \quad\land\quad \frac{-x}{2}\le1 \\
2x-2\le-x \quad\land\quad -x\le2 \\
3x-2\le0 \quad\land\quad x\ge-2 \\
3x\le2 \quad\land\quad x\ge-2 \\
x\le\frac{2}{3} \quad\land\quad x\ge-2$$

Szukamy więc liczb całkowitych, które są mniejsze lub równe od \(\frac{2}{3}\) i jednocześnie większe lub równe niż \(-2\). Istnieją tylko trzy takie liczby: \(-2,-1,0\).

Odpowiedź

D

Dodaj komentarz