Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy \(d=20cm\), wysokości \(H=25cm\) i tworzącej \(l\). Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską \(ABS\) o kształcie wycinka koła o promieniu \(l\) i środku \(S\) (zobacz rysunek 1.). Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek \(SB\) z odcinkiem \(SA\) (zobacz rysunek 2.). Do obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.

matura z matematyki



Zadanie 1.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Kąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka, ma miarę (w zaokrągleniu do \(1°\))

A. \(44°\)

B. \(136°\)

C. \(22°\)

D. \(68°\)



Zadanie 2.

Oblicz miarę kąta \(\sphericalangle BSA\) wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka opisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta \(\sphericalangle BSA\) podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.

Rozwiązanie

Zadanie 1.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania, otrzymamy następującą sytuację:
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej rzecz ujmując - z tangensa), możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{r}{H} \\
tg\alpha=\frac{10}{25} \\
tg\alpha=0,4$$

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że sinus przyjmuje wartość \(0,4\) dla kąta o mierze około \(22°\).

Krok 3. Obliczenie kąta rozwarcia stożka.
Kąt rozwarcia stożka będzie dwa razy większy od kąta \(\alpha\), zatem będzie miał on miarę \(2\cdot22°=44°\).

Zadanie 2.
Krok 1. Obliczenie długości tworzącej stożka.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$10^2+25^2=l^2 \\
100+625=l^2 \\
l^2=725 \\
l=\sqrt{725} \quad\lor\quad l=-\sqrt{725}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(l=\sqrt{725}\), co w sumie możemy (choć nie musimy) jeszcze rozpisać jako \(l=\sqrt{25\cdot29}=5\sqrt{29}\).

Krok 2. Obliczenie obwodu podstawy stożka.
Obliczmy teraz obwód podstawy stożka, korzystając ze wzoru \(Obw=2\pi r.\) W podstawie mamy koło, którego średnica ma długość \(d=20\), a nam do obwodu potrzebny jest promień, zatem\( r=10\). Podstawiając te dane, otrzymamy:
$$Obw=2\pi r \\
Obw=2\pi \cdot10 \\
Obw=20\pi$$

Krok 3. Obliczenie obwodu całego koła, z którego wzięto wycinek.
Obliczmy teraz obwód koła, z którego wzięto wycinek do budowy stożka. Z rysunku widzimy, że to będzie koło, którego promień ma długość \(l\). W pierwszym kroku obliczyliśmy, że \(l=5\sqrt{29}\), zatem:
$$Obw=2\pi r \\
Obw=2\pi\cdot5\sqrt{29} \\
Obw=10\sqrt{29}\pi$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(BSA\).
Wiemy, że całe koło to \(360°\). Miara naszego kąta \(BSA\) będzie stanowiła pewną część tych \(360°\). Ta część będzie dokładnie taka sama jak stosunek długości łuku względem obwodu całego koła. Skoro tak, to:
$$\alpha=\frac{20\pi}{10\sqrt{29}\pi}\cdot360° \\
\alpha=\frac{20}{10\sqrt{29}}\cdot360° \\
\alpha=\frac{2}{\sqrt{29}}\cdot360° \\
\alpha\approx\frac{2}{5,3852}\cdot360° \\
\alpha\approx133,7°\approx134°$$

Odpowiedź

1. A
2. \(\alpha\approx134°\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments