Grupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy 960 złotych

Grupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy \(960\) złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy uczestników wyjazdu. Do grupy wyjeżdżających dołączyło w ostatniej chwili dwóch znajomych. Wtedy koszt wyjazdu przypadający na jednego uczestnika zmniejszył się o \(16\) złotych. Oblicz, ile osób wyjechało na biwak.

\(x\) – początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak
\(y\) – początkowy koszt wynajęcia busa na jedną osobę
\(960\) – całkowity koszt wynajęcia busa

\(x+2\) – liczba wyjeżdżających po dołączeniu dwóch osób
\(y-16\) – koszt wynajęcia busa na jedną osobę po dołączeniu dwóch osób

Na podstawie powyższych informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
xy=960 \\
(x+2)(y-16)=960
\end{cases}\begin{cases}
xy=960 \\
xy-16x+2y-32=960
\end{cases}

Podstawiając \(xy=960\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$960-16x+2y-32=960 \\
-16x+2y-32=0 \\
2y=16x+32 \\
y=8x+16$$

Podstawiając teraz \(y=8x+16\) do równania \(xy=960\) otrzymamy:
$$x\cdot(8x+16)=960 \\
8x^2+16x=960 \quad\bigg/:8 \\
x^2+2x=120 \\
x^2+2x-120=0$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-120\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-120)=4-(-480)=4+480=484 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{484}=22$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-22}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+22}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, zatem otrzymaliśmy że \(x=10\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak, ale wiemy, że dołączyły do nich jeszcze dwie osoby. Zatem ostatecznie na biwak pojechało \(12\) osób.

\(12\) osób