Grupa studentów zaplanowała wyjazd na narty. Postanowiono podzielić się po równo kosztem pobytu

Grupa studentów zaplanowała wyjazd na narty. Postanowiono podzielić się po równo kosztem pobytu, który dla całej grupy wynosił \(3840zł\). Okazało się jednak, że z wyjazdu zrezygnowały \(4\) osoby, więc każdy z uczestników musiał zapłacić o \(160zł\) więcej. Oblicz, ile osób wzięło udział w tym wyjeździe na narty i jaką kwotę każda z nich zapłaciła.

Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do danych treści zadania.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba studentów, która pojechała na narty
\(x+4\) - liczba studentów przed rezygnacją \(4\) osób

\(\frac{3840}{x}\) - ostateczna cena wyjazdu pojedynczego studenta
\(\frac{3840}{x+4}\) - cena wyjazdu pojedynczego studenta, przed rezygnacją \(4\) osób

Z treści zadania wynika, że ostateczna cena na jedną osobę była o \(160zł\) wyższa, zatem powstaje nam następujące równanie:
$$\frac{3840}{x}-160=\frac{3840}{x+4}$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
$$\frac{3840}{x}-160=\frac{3840}{x+4} \quad\bigg/\cdot x \\
3840-160x=\frac{3840x}{x+4} \quad\bigg/\cdot(x+4) \\
3840\cdot(x+4)-160\cdot(x+4)=3840x \\
3840x+15360-(160x^2+640x)=3840x \\
3840x+15360-160x^2-640x=3840x \\
-160x^2-640x+15360=0$$

Aby działać na nieco mniejszych liczbach, możemy (choć nie musimy) podzielić obie strony tego równania przez \(-160\), dzięki czemu otrzymamy:
$$x^2+4x-96=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-96\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=16-(-384)=400 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-20}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+20}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo liczba studentów nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(x=8\).

Krok 4. Obliczenie kwoty, jaką zapłacił każdy ze studentów.
Wyszło nam, że \(x=8\), czyli że było \(8\) studentów. Skoro zapłacili oni za wycieczkę \(3840zł\), to każdy z nich zapłacił:
$$3840zł:8=480zł$$

Odpowiedź

W wyjeździe wzięło udział \(8\) osób, a każda z nich zapłaciła \(480zł\).

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments