Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza. Gdy Danka będzie miała tyle lat

Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza. Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała \(42\) lata. Ile lat ma obecnie każda z dziewcząt?

Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i zapisanie równań z treści zadania.
Zadanie jest trochę zagmatwane i wszystko sprowadza się tak naprawdę do poprawnego ułożenia dwóch równań z których stworzymy układ równań. Przyjmijmy, że:
\(a\) - obecny wiek Anki
\(d\) - obecny wiek Danki
\(a-d\) - różnica wieku między Anką i Danką

Teraz ułóżmy pierwsze równanie. Ze zdania "Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza" wynika, że:
$$a-(a-d)=3(d-(a-d))$$
lub też po prostu:
$$d=3(d-(a-d))$$

Drugie równanie wynika ze zdania "Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała \(42\) lata", czyli:
$$a+(a-d)=42$$

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch równań wyznaczonych w pierwszym kroku powstaje nam układ równań, który musimy po prostu rozwiązać:
$$\begin{cases}
d=3(d-(a-d)) \\
a+(a-d)=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=3(d-a+d) \\
a+a-d=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=3(2d-a) \\
2a-d=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=6d-3a \\
d+42=2a
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
5d-3a=0 \\
d=2a-42
\end{cases}$$

Podstawiając \(d=2a-42\) z drugiego równania do pierwszego otrzymamy:
$$5\cdot(2a-42)-3a=0 \\
10a-210-3a=0 \\
7a=210 \\
a=30$$

Znając wiek Anki możemy obliczyć także wiek Danki, podstawiając \(a=30\) do jednego z równań:
$$d=2a-42 \\
d=2\cdot30-42 \\
d=60-42 \\
d=18$$

To oznacza, że Anka ma \(30\) lat, a Danka ma \(18\) lat.

Odpowiedź

Anka ma \(30\) lat, a Danka ma \(18\) lat.

Dodaj komentarz