Rozwiązanie
Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\).
Do zadania można podchodzić na różne sposoby - w ostateczności można nawet naszkicować wykresy każdej z podanych funkcji. Podejdźmy jednak do tego zadania nieco bardziej analitycznie. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Wiemy, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-\infty,2\rangle\), co prowadzi nas do wniosku, że ta funkcja musi mieć ramiona skierowane do dołu - tylko wtedy najwyższą przyjmowaną wartością może być konkretna liczba. Dobrze to widać na poniższym rysunku:
Tym samym wiemy już, że współczynnik kierunkowy \(a\lt0\). Taki współczynnik znalazł się w trzech odpowiedziach: A, C oraz F i tylko do nich możemy się już ograniczyć.
Krok 2. Wybór wzorów funkcji.
Przeanalizujmy teraz każdą z interesujących nas funkcji, czyli \(A(x)\), \(C(x)\) oraz \(F(x)\). Szukamy wśród tych propozycji takiej funkcji, której największa wartość będzie równa \(2\). Wiedząc, że największa wartość przyjmowana jest w wierzchołku, możemy wręcz powiedzieć, że interesuje nas sytuacja, w której \(q=2\).
\(A(x)=-(x-3)^2+2\)
Jest to funkcja zapisana w postaci kanonicznej, z której możemy odczytać, że \(q=2\). Jest to więc pierwsza poszukiwana funkcja.
\(C(x)=-5(x-2)^2\)
Tutaj również mamy postać kanoniczną, którą moglibyśmy dla lepszego zobrazowania rozpisać jako \(C(x)=-5(x-2)^2+0\). Mówiąc wprost, jest to sytuacja dość podobna do tej z odpowiedzi A, ale tutaj współrzędna \(q=0\), co sprawia, że zbiorem wartości będzie przedział \((-\infty,0\rangle\). Ta funkcja nie jest zatem tą, której szukamy.
\(F(x)=-2x^2+4x\)
Odrzucając wszystkie pozostałe odpowiedzi wiemy już, że to jest funkcja, której szukamy. Ustalmy może jeszcze skąd wiemy, że największą wartością przyjmowaną przez tą funkcję jest akurat \(2\). W tym celu wystarczy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli. Funkcja jest zapisana w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wzór:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
Obliczmy najpierw deltę.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=4,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-2)\cdot0=16-0=16$$
W takim razie:
$$q=\frac{-16}{4\cdot(-2)} \\
q=\frac{-16}{-8} \\
q=2$$
To oznacza, że to jest właśnie nasza druga funkcja, której szukaliśmy.
