Funkcja wykładnicza i logarytmiczna – zadania maturalne

\(43,2mg\)

Z treści zadania wynika, że \(m_{0}=200\) oraz \(t=12\). Skoro tak, to podstawiając te dane do podanego wzoru, otrzymamy:
$$m(12)=200\cdot(0,6)^{0,25\cdot12} \\
m(12)=200\cdot(0,6)^3 \\
m(12)=200\cdot0,216 \\
m(12)=43,2$$

To oznacza, że w organizmie zostanie \(43,2mg\) leku.

\(q=\sqrt{0,6}\)

Krok 1. Obliczenie wartości \(m(2,5)\) oraz \(m(4,5)\).
Do wyznaczenia ilorazu ciągu potrzebujemy znajomości dwóch wyrazów tego ciągu. Obliczmy zatem ile wynosi \(m(2,5)\) oraz \(m(4,5)\)
$$m(2,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,25\cdot2,5} \\
m(2,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,625}$$

$$m(4,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{0,25\cdot4,5} \\
m(4,5)=m_{0}\cdot(0,6)^{1,125}$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znając dwa sąsiednie wyrazu ciągu geometrycznego, możemy bez problemu obliczyć wartość ilorazu:
$$q=\frac{m(4,5)}{m(2,5)} \\
q=\frac{m_{0}\cdot(0,6)^{1,125}}{m_{0}\cdot(0,6)^{0,625}} \\
q=\frac{(0,6)^{1,125}}{(0,6)^{0,625}} \\
q=(0,6)^{1,125}:(0,6)^{0,625} \\
q=(0,6)^{1,125-0,625} \\
q=(0,6)^{0,5} \\
q=(0,6)^{\frac{1}{2}} \\
q=\sqrt{0,6}$$

A

Poprawnym wykresem będzie ten z odpowiedzi A. Powiedzmy sobie może jeszcze dlaczego to jest akurat ten wykres. Aby dojść do tej odpowiedzi, musimy zrozumieć istotę samego zadania.

Mamy pacjenta, który przyjmuje dawkę omawianego leku i zgodnie ze wzorem, z czasem tego leku jest coraz mniej. Ze wzoru wynika, że spadek ten jest wykładniczy (a nie liniowy, jak odpowiedzi D). W grę wchodzą więc już tylko dwie odpowiedzi - A oraz B (odpowiedź C odrzucamy, ponieważ w odpowiedzi C mamy funkcję rosnącą). No i teraz najważniejsze pytanie - skąd się biorą trzy fragmenty wykresu? Wynika to z faktu dodawania kolejnej dawki leki, co tym samym powoduje skokowe zwiększenie dawki leku w organizmie. Jeżeli więc pacjent po \(4\) dobach ma w swoim organizmie \(50mg\) leku i dostaje kolejną dawkę \(100mg\), to w czwartej dobie wartość ta skacze mu do \(150mg\), dokładnie tak jak na wykresie z odpowiedzi A.

ok. \(99,9mg\)

Krok 1. Analiza ilości leku w organizmie pacjenta.
Musimy sobie uzmysłowić, że przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku, pacjent będzie miał śladowe ilości pierwszej dawki (śladowe, bo wraz z upływem czasu tego leku w organizmie jest coraz mniej), nieco większe drugiej dawki i całkiem spore wartości dziewiątej czy też dziesiątej dawki. Musimy też dostrzec, że termin "przed przyjęciem jedenastej dawki" oznacza, że od pierwszej dawki upłynęło \(t=40\) dni, a od dawki dziesiątej upłynęły raptem \(t=4\) dni. Zapiszmy zatem ile każdej z dawek zostało temu pacjentowi w organizmie, zaczynając może od najnowszej, czyli dziesiątej dawki.

Pacjent otrzyma jedenastą dawkę leku po upływie \(4\) dni od przyjęcia dziesiątej dawki. To oznacza, że z dziesiątej dawki w organizmie zostanie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{4}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=50$$

W orgazmie pacjenta jest jeszcze np. lek z dziewiątej dawki, który był podany \(8\) dni wcześniej. Tego leku w organizmie pacjenta będzie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{8}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=100\cdot\frac{1}{4}=25$$

Z ósmej dawki zostanie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{12}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=100\cdot\frac{1}{8}=12,5$$

I tak analogicznie możemy rozpisywać kolejne dawki, aż dojdziemy do pierwszej, która była \(40\) dni wcześniej, zatem z tej dawki zostało:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{40}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich dawek leku.
Naszym celem jest teraz zsumowanie tych wszystkich dawek. Widzimy wyraźnie, że kolejne dawki leku tworzą ciąg geometryczny, w którym \(a_{1}=50\) oraz \(q=\frac{1}{2}\). Korzystając zatem ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{10}=50\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}} \\
S_{10}=50\cdot\frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=50\cdot\frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}} \\
S_{10}=50\cdot\frac{1023}{1024}:\frac{1}{2} \\
S_{10}=\frac{51150}{1024}:\frac{1}{2} \\
S_{10}=\frac{51150}{1024}\cdot2 \\
S_{10}=\frac{51150}{512} \\
S_{10}\approx99,9$$

To oznacza, że przed przyjęciem jedenastej dawki nasz pacjent ma w organizmie około \(99,9mg\) leku.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozpiszesz masy leku pozostałe w organizmie z poszczególnych dawek (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy skorzystasz ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu i podstawisz do niego poprawne dane (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

A

Naszym zadaniem jest poprawne dopasowanie wykresu funkcji wykładniczej. I tu od razu nasz wzrok musimy kierować w stronę rysunku 1 oraz 3 - bowiem tak właśnie wyglądają wykresy funkcji wykładniczych typu \(y=a^x\), gdy \(0\lt a\lt1\) (w naszym przypadku \(a=\frac{1}{2}\)).

Ustalmy zatem teraz, który z tych wykresów jest prawidłowy. Widzimy wyraźnie, że sytuacja z trzeciego rysunku musi zostać przez nas odrzucona, ponieważ nasz wykres musi zaczynać się od punktu \((0;0)\) i to właśnie w tym momencie musimy mieć początkową liczbę jąder naszego izotopu. Na trzecim wykresie funkcja ta jest nieco przesunięta w prawo, przez co początkowa liczba jąder izotopu przypada na czas \(\frac{1}{2}T\).

W związku z tym poprawnym wykresem jest jedynie ten z pierwszej odpowiedzi. Możemy to jeszcze sobie zweryfikować, widząc że dla czasu \(T\) nasza funkcja przyjmuje połowę wartości \(N_{0}\), a dla np. \(2T\) przyjmuje jedną czwartą wartości \(N_{0}\).

\(22800\) lat

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie zapisać to w następujący sposób:
\(m\) - początkowa masa izotopu węgla
\(\frac{1}{2}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(1T\), czyli \(5700\) lat
\(\frac{1}{4}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(2T\), czyli \(11400\) lat
\(\frac{1}{8}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(3T\), czyli \(17100\) lat
\(\frac{1}{16}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(4T\), czyli \(22800\) lat

To oznacza, że znalezisko archeologiczne ma \(22800\) lat.