Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie równania.
Funkcja liniowa nie będzie mieć miejsc zerowych tylko wtedy, gdy będzie równoległa do osi \(Ox\) oraz wtedy, gdy nie będzie pokrywać się z tą osią. Rozpatrzmy najpierw sytuację, w której funkcja jest równoległa do osi \(Ox\). Stanie się tak w sytuacji, gdy współczynnik kierunkowy \(a\) będzie równy \(0\). W naszym przypadku współczynnik \(a\) jest równy \(k^2-3k+2\), zatem musimy rozwiązać następujące równanie kwadratowe:
$$k^2-3k+2=0$$
Krok 2. Rozwiązanie równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
$$k_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-1}{2\cdot1}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
k_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+1}{2\cdot1}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Wiemy już, że funkcja będzie równoległa do osi \(Ox\) wtedy, gdy \(k=1\) oraz gdy \(k=2\). Musimy jeszcze sprawdzić, czy przypadkiem dla któregoś z tych wariantów ta funkcja nie będzie leżeć po prostu na osi \(Ox\) (gdyby leżała to mielibyśmy nieskończenie wiele miejsc zerowych). Chcielibyśmy zatem, by współczynnik \(b\) tej funkcji był różny od zera. W naszym przypadku współczynnik \(b\) jest równy \(-k+2\), zatem:
$$-k+2\neq0 \\
k\neq2$$
To oznacza, że rozwiązanie \(k=2\) musimy odrzucić. Zatem jedyną poprawną odpowiedzią do tego zadania będzie \(k=1\).
