Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe. Jednym z nich jest liczba -3

Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe. Jednym z nich jest liczba \(-3\). Wierzchołek paraboli, będącej wykresem tej funkcji, znajduje się w punkcie \((-1,-8)\). Wyznacz wzór tej funkcji.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

W naszym przypadku \(W=(-1,-8)\) zatem:
$$f(x)=a(x-(-1))^2+(-8) \\
f(x)=a(x+1)^2-8$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\).
Do wyznaczenia współczynnika \(a\) wykorzystamy informację o miejscu zerowym tej funkcji. Skoro dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\) (bo \(x=-3\) jest miejscem zerowym), to znaczy że:
$$a\cdot(-3+1)^2-8=0 \\
a\cdot(-2)^2-8=0 \\
4a-8=0 \\
4a=8 \\
a=2$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji.
W treści zadania nie mamy podanej informacji w jakiej postaci ma to być wzór. Niemalże od ręki jesteśmy w stanie podać ten wzór w postaci kanonicznej, bo przed chwilą obliczyliśmy że \(a=2\), zatem:
$$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8$$

Gdybyśmy chcieli podać ten wzór w postaci ogólnej (czyli tej najpopularniejszej), to należałoby wykonać potęgowanie:
$$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8 \\
f(x)=2\cdot(x^2+2x+1)-8 \\
f(x)=2x^2+4x+2-8 \\
f(x)=2x^2+4x-6$$

Odpowiedź

\(f(x)=2x^2+4x-6\)

Dodaj komentarz