Rozwiązanie
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Nasza funkcja zapisana jest w postaci iloczynowej typu \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). Możemy z niej wprost odczytać, że miejscami zerowymi naszej funkcji są \(x_{1}=1\) oraz \(x_{2}=5\). Jeśli nie potrafimy wyznaczyć tych miejsc od ręki, to można przyrównać wzór funkcji do zera:
$$-(x-1)(x-5)=0 \\
(x-1)(x-5)=0 \\
x-1=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x=5$$
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Ramiona naszej funkcji będą skierowane do dołu (bo przed nawiasami mamy znak minus, czyli współczynnik \(a\) jest mniejszy od zera), zatem funkcja będzie wyglądać w ten sposób:
Widzmy więc, że najmniejszą wartością funkcji jest \(-\infty\), a największą wartość funkcji poznamy wyznaczając wierzchołek paraboli.
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli będzie średnią arytmetyczną miejsc zerowych. Możemy zatem zapisać, że:
$$p=\frac{1+5}{2} \\
p=\frac{6}{2} \\
p=3$$
Można więc powiedzieć, że funkcja przyjmie swoją największą wartość dla argumentu \(x=3\). Celem zadania jest poznanie tej wartości, więc wystarczy podstawić \(x=3\) do wzoru funkcji:
$$f(3)=-(3-1)(3-5) \\
f(3)=-2\cdot(-2) \\
f(3)=4$$
To oznacza, że nasza funkcja kwadratowa przyjmuje wartość największą równą \(4\).
