Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x-3)(7-x). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-3)(7-x)\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) należy do prostej o równaniu:

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych funkcji.
Funkcja podana jest w postaci iloczynowej, zatem przyrównując wartości w nawiasach do zera bardzo szybko określimy miejsca zerowe:
$$x-3=0 \quad\lor\quad 7-x=0 \\
x=3 \quad\lor\quad x=7$$

Krok 2. Określenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli.
Współrzędną iksową wierzchołka paraboli określamy symbolem \(p\). Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że współrzędna iksowa wierzchołka paraboli znajduje się dokładnie pośrodku pomiędzy dwoma miejscami zerowymi. W związku z tym:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\
p=\frac{3+7}{2} \\
p=\frac{10}{2} \\
p=5$$

Krok 3. Określenie współrzędnej igrekowej wierzchołka paraboli.
Wiemy już, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest \(p=5\). To oznacza, że podstawiając do wzoru funkcji pod iksa tę piątkę obliczymy współrzędną igrekową wierzchołka paraboli (oznaczaną symbolem \(q\)). Zatem:
$$q=(5-3)(7-5) \\
q=2\cdot2 \\
q=4$$

W związku z tym, że współrzędna igrekowa wierzchołka jest równa \(q=4\), to nasz wierzchołek paraboli należy do prostej \(y=4\).

Odpowiedź

D

Dodaj komentarz