Funkcja f określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie x ostatnią cyfrę jej kwadratu

Funkcja \(f\) określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie \(x\) ostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji \(f\) zawiera dokładnie:

Musimy odpowiedzieć tak naprawdę na pytanie – jakie są ostatnie cyfry liczb, które są wynikami podniesienia liczby do kwadratu. Przykładowo:
Liczby zakończone na \(2\):
$$2^2=\color{blue}{4} \\
72^2=518\color{blue}{4} \\
82^2=672\color{blue}{4} \\
92^2=846\color{blue}{4}$$

Liczby zakończone na \(3\):
$$3^2=\color{blue}{9} \\
73^2=532\color{blue}{9} \\
83^2=688\color{blue}{9} \\
93^2=864\color{blue}{9}$$

Liczby zakończone na \(9\):
$$9^2=8\color{blue}{1} \\
79^2=624\color{blue}{1} \\
89^2=792\color{blue}{1} \\
99^2=980\color{blue}{1}$$

Widzimy wyraźnie, że istnieje zbieżność, między ostatnią cyfrą liczby podniesioną do kwadratu, a kwadratem tej liczby. Gdybyśmy rozpatrzyli tak wszystkie możliwe przypadki (końcówki liczb od \(0\) do \(9\)) to zauważymy, że:
Ostatnia cyfra \(0\) – Kwadrat liczby kończy się na \(0\)
Ostatnia cyfra \(1\) – Kwadrat liczby kończy się na \(1\)
Ostatnia cyfra \(2\) – Kwadrat liczby kończy się na \(4\)
Ostatnia cyfra \(3\) – Kwadrat liczby kończy się na \(9\)
Ostatnia cyfra \(4\) – Kwadrat liczby kończy się na \(6\)
Ostatnia cyfra \(5\) – Kwadrat liczby kończy się na \(5\)
Ostatnia cyfra \(6\) – Kwadrat liczby kończy się na \(6\)
Ostatnia cyfra \(7\) – Kwadrat liczby kończy się na \(9\)
Ostatnia cyfra \(8\) – Kwadrat liczby kończy się na \(4\)
Ostatnia cyfra \(9\) – Kwadrat liczby kończy się na \(1\)

Z naszych rozważań wynika, że na końcach kwadratów znaleźć się może jedna z sześciu liczb: \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). W związku z tym zbiór wartości funkcji \(f\) składa się z \(6\) elementów.

B. \(6\) elementów