Funkcja f jest określona następująco f(x)=3 dla x∈(-4,-2>

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$$f(x)=\begin{cases}3\text{ dla } x\in(-4,-2\rangle \\

-x+1\text{ dla } x\in(-2,2\rangle \\

x-3\text{ dla } x\in(2,4\rangle\end{cases}$$

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $.......$

2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $.......$

3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne, jest przedział $.......$

4. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje największą wartość, jest przedział $.......$

Rozwiązanie

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi iksów. Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od $-4$ (bez tego argumentu, bo kropka jest niezamalowana) aż do $4$ włącznie, zatem dziedziną funkcji będzie przedział $x\in(-4,4\rangle$.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Nasza funkcja przyjmuje wartości od $-1$ aż do $3$ włącznie. Tu najważniejszą pułapką jest dostrzeżenie, że mimo iż kropka przy wartości równej $3$ jest niezamalowana, to przecież wartość równa $3$ jest przyjmowana np. dla argumentów $x=-3$ czy też $x=-2$, więc zbiorem wartości będzie przedział obustronnie domknięty: $y\in\langle-1,3\rangle$.

Krok 3. Rozwiązanie trzeciej części zadania.
Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów z przedziału $(1,3)$.

Krok 4. Rozwiązanie czwartej części zadania.
Największą wartością tej funkcji jest $y=3$. Taka wartość jest przyjmowana dla argumentów od $-4$ aż do $-2$, ale bez argumentu $-4$, bo kropka jest niezamalowana. Czyli taka największa wartość jest przyjmowana w przedziale $(-4,-2\rangle$.

Odpowiedź

1. $(-4,4\rangle$
2. $\langle-1,3\rangle$
3. $(1,3)$
4. $(-4,-2\rangle$