Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie równań.
Aby zrozumieć istotę zadania, spróbujmy całość opisać w taki sposób, jak rozwiązujemy inne tego typu zadania. Z treści zadania wynika, że liczbę sprzedanych egzemplarzy opisuje funkcja \(f(x)=2400-15x\). Jeżeli więc liczbę sprzedanych egzemplarzy oznaczymy jako \(y\), to zapisalibyśmy, że:
$$y=2400-15x$$
Z treści zadania wynika też, że tygodniowy przychód oznaczamy symbolem \(P\), no a ten przychód to będzie liczba sprzedanych sztuk gry pomnożona przez ich cenę, czyli:
$$P=x\cdot y$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie przychodu w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=2400-15x\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot(2400-15x) \\
P=2400x-15x^2 \\
P=-15x^2+2400x$$
Otrzymaliśmy informację, że przychód można opisać wzorem \(-15x^2+2400x\), czyli udało nam się zapisać wzór na przychód z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretny przychód \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-15x^2+2400x\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-15\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko przychód \(P\)):
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) osiągniemy jak najwyższy przychód \(P\). Z własności parabol wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej sprzedaży \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-2400}{2\cdot(-15)} \\
x_{W}=\frac{-2400}{-30} \\
x_{W}=80$$
Krok 4. Obliczenie przychodu.
Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy \(x=80\), czyli największy przychód osiągniemy wtedy, gdy cena gry jest równa \(80\). Jedną z rzeczy wymaganych w zadaniu mamy więc już policzoną. Musimy jeszcze wyliczyć ten przychód, a zrobimy to korzystając z zapisanego wcześniej wzoru \(P=-15x^2+2400x\), zatem:
$$P=-15\cdot80^2+2400\cdot80 \\
P=-15\cdot6400+2400\cdot80 \\
P=-96000+192000 \\
P=96000$$
Największy tygodniowy przychód wyniesie więc \(96000\).
