Ewa narysowała kwadrat o boku 1, prostokąt o bokach 2 i 1 oraz kąt prosty o wierzchołku O

Ewa narysowała kwadrat o boku $1$, prostokąt o bokach $2$ i $1$ oraz kąt prosty o wierzchołku $O$.

Następnie od wierzchołka $O$ kąta prostego odmierzyła na jednym ramieniu kąta odcinek $OA$ o długości równej przekątnej kwadratu, a na drugim ramieniu - odcinek $OB$ o długości równej przekątnej prostokąta. Długość odcinka $AB$ jest równa:

A. $\sqrt{7}$

B. $\sqrt{2}+\sqrt{5}$

C. $\sqrt{5}$

D. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości odcinka $OA$.
Odcinek $OA$ jest przekątną kwadratu o boku $1$. Wiedząc, że przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$ możemy zapisać, że odcinek $OA$ ma miarę:
$$|OA|=1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka $OB$.
Długość odcinka $OB$ jest przekątną prostokąta o bokach $2$ i $1$. Możemy więc do wyznaczenia długości przekątnej skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$1^2+2^2=c^2 \\
1+4=c^2 \\
c^2=5 \\
c=\sqrt{5}$$

Zatem $|OB|=\sqrt{5}$.

Krok 3. Obliczenie długości odcinka $AB$.
Tutaj ponownie skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa. Krótsza przyprostokątna $OA=\sqrt{2}$, dłuższa przyprostokątna $|OB|=\sqrt{5}$, więc przeciwprostokątna $AB$ będzie równa:
$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2=c^2 \\
2+5=c^2 \\
c^2=7 \\
c=\sqrt{7}$$

To oznacza, że długość odcinka $AB$ jest równa $\sqrt{7}$.

Zadania

Ewa narysowała kwadrat o boku 1, prostokąt o bokach 2 i 1 oraz kąt prosty o wierzchołku O

Rozwiązanie

Odpowiedź