Ewa narysowała kwadrat o boku 1, prostokąt o bokach 2 i 1 oraz kąt prosty o wierzchołku O

Ewa narysowała kwadrat o boku \(1\), prostokąt o bokach \(2\) i \(1\) oraz kąt prosty o wierzchołku \(O\).

egzamin ósmoklasisty



Następnie od wierzchołka \(O\) kąta prostego odmierzyła na jednym ramieniu kąta odcinek \(OA\) o długości równej przekątnej kwadratu, a na drugim ramieniu - odcinek \(OB\) o długości równej przekątnej prostokąta. Długość odcinka \(AB\) jest równa:

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(OA\).
Odcinek \(OA\) jest przekątną kwadratu o boku \(1\). Wiedząc, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\) możemy zapisać, że odcinek \(OA\) ma miarę:
$$|OA|=1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OB\).
Długość odcinka \(OB\) jest przekątną prostokąta o bokach \(2\) i \(1\). Możemy więc do wyznaczenia długości przekątnej skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$1^2+2^2=c^2 \\
1+4=c^2 \\
c^2=5 \\
c=\sqrt{5}$$

Zatem \(|OB|=\sqrt{5}\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Tutaj ponownie skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa. Krótsza przyprostokątna \(OA=\sqrt{2}\), dłuższa przyprostokątna \(|OB|=\sqrt{5}\), więc przeciwprostokątna \(AB\) będzie równa:
$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2=c^2 \\
2+5=c^2 \\
c^2=7 \\
c=\sqrt{7}$$

To oznacza, że długość odcinka \(AB\) jest równa \(\sqrt{7}\).

Odpowiedź

A

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments