Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) – Matematyka – 2025 – Odpowiedzi

B

Jeżeli liczbę stron przeczytanych w sobotę oznaczymy jako \(x\), to zgodnie ze wzorem na średnią arytmetyczną otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{55+68+72+49+x}{5}=60 \\
244+x=300 \\
x=56$$

C

Najprościej będzie rozpisać sobie po kolei każdą z liczb w następujący sposób:
Pierwsza liczba: \(6\)
Druga liczba: \(\frac{1}{2}\cdot6=3\)
Trzecia liczba: \(\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)
Czwarta liczba: \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)
Piąta liczba: \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\)

A

\(20\) minut to \(20\cdot60=1200\) sekund. Skoro więc czas odtwarzania każdego ćwiczenia jest równy \(250\) sekund, to Martyna była w stanie wysłuchać \(1200:250=4,8\) ćwiczenia. Otrzymany wynik oznacza, że Martyna wysłuchała co najwyżej \(4\) ćwiczenia w całości.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$9^4:3^2=(3^2)^4:3^2=3^8:3^2=3^{8-2}=3^6$$

Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Iloczyn \(3^5\cdot3^2\) będzie równy:
$$3^5\cdot3^2=3^{5+2}=3^{7}$$

Z kolei liczbę \(3^8\) możemy rozpisać jako:
$$3^8=3^{1+7}=3^1\cdot3^7=3\cdot3^7$$

Widzimy wyraźnie, że rzeczywiście liczba \(3^8\) jest \(3\) razy większa od iloczynu \(3^5\cdot3^2\), zatem zdanie jest prawdą.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Suma tych liczb będzie równa:
$$69+83=152$$

Liczba jest podzielna przez \(4\) tylko wtedy, gdy dwie ostatnie jej cyfry dają liczbę podzielną przez \(4\). Liczba \(52\) dzieli się przez \(4\), więc tym samym także \(152\) będzie podzielne przez \(4\), a wynik tego dzielenia będzie równy:
$$152:4=38$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Iloczyn tych liczb wynosi:
$$69\cdot83=5727$$

Aby liczba była podzielna przez \(3\), to suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez \(3\). W naszym przypadku suma cyfr liczby \(5727\) będzie równa:
$$5+7+2+7=21$$

Skoro \(21\) jest liczba podzielną przez \(3\), to cała liczba \(5727\) będzie podzielna przez \(3\) (wynikiem tego dzielenia będzie \(1909\)), zatem zdanie jest prawdą.

B., C.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Mamy \(4\) karty z kwadratem, a wszystkich kart jest łącznie \(18\). To oznacza, że prawdopodobieństwo wylosowania karty z kwadratem jest równe:
$$p=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
• Trójkąt równoboczny o boku \(6cm\) ma obwód równy \(3\cdot6cm=18cm\).
• Kwadrat o boku \(7cm\) ma obwód równy \(4\cdot7cm=28cm\).
• Pięciokąt foremny o boku \(2cm\) ma obwód równy \(5\cdot2cm=10cm\).

Obwód mniejszy niż \(18cm\) mamy zatem jedynie w przypadku pięciokąta. Skoro więc mamy dziewięć pięciokątów, to prawdopodobieństwo wyniesie:
$$p=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$$

C

Krok 1. Obliczenie długości całej trasy.
Jeżeli przyjmiemy, że cała trasa ma długość \(x\) to na podstawie treści zadania możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{2}{3}x=12km \\
x=18km$$

Ewentualnie możemy do tej samej informacji dotrzeć układając prostą proporcję:
Skoro \(\frac{2}{3}\) trasy to \(12 km\)
To \(\frac{1}{3}\) trasy to \(6 km\)
Więc cała trasa ma długość \(18 km\)

Krok 2. Obliczenie długości połowy zaplanowanej trasy.
Tym samym połowa zaplanowanej trasy ma długość:
$$\frac{1}{2}\cdot18km=9km$$

C

To równanie możemy rozwiązać na różne sposoby, jak jest nam wygodniej. Kluczową sprawą jest pamiętanie o tym, że w momencie gdy będziemy chcieli pomnożyć obydwie strony przez \(2\) (a będziemy chcieli to zrobić, by pozbyć się ułamka), to przez tę dwójkę trzeba będzie pomnożyć poszczególne elementy tego równania, ponieważ występuje tutaj dodawanie oraz odejmowanie. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$5+\frac{1-x}{2}=2(x-1) \\
5+\frac{1-x}{2}=2x-2 \quad\bigg/\cdot2 \\
10+1-x=4x-4 \\
11-x=4x-4 \\
15=5x \\
x=3$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pole rombu obliczamy ze wzoru \(P=\frac{1}{2}ef\). Z treści zadania wynika, że iloczyn długości przekątnych \(e\cdot f\) jest równy \(64\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot64 \\
P=32$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Kwadrat ma bok o długości \(a=8\), zatem jego pole będzie równe:
$$P=a^2 \\
P=8^2 \\
P=64$$

Pole to nie jest więc równe polu rombu, czyli zdanie jest fałszem.

A

Przeanalizujmy po kolei każdy z wniosków:
• Wniosek 1 jest poprawny, bo gdyby były dwa kąty proste, to ich suma byłaby równa \(180°\), więc zabrakłoby stopni na trzeci kąt. To samo dotyczy kątów rozwartych - gdybyśmy mieli dwa kąty rozwarte, to ich łączna miara byłaby większa niż \(180°\).
• Wniosek 2 jest błędny. Istnieje trójkąt rozwartokątny równoramienny - ten rozwarty kąt będzie w takim przypadku po prostu kątem między ramionami. Przykładem takiego trójkąta będzie trójkąt o kątach \(120°, 30°, 30°\).
• Wniosek 3 jest poprawny, ponieważ to oznacza, że na trzeci kąt w tym trójkącie zostanie nam mniej niż \(90°\), czyli tym samym będzie to kąt ostry.

Prawidłowe były więc tylko dwa wnioski: \(1.\) i \(3.\)

D

Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(x\) - wiek Ani
\(3x\) - wiek Kasi (bo Kasia jest trzy razy starsza od Ani)
\(3x+2\) - wiek Oli (bo Ola jest o \(2\) lata starsza od Kasi)

W takim razie suma wieku trzech dziewczyn będzie równa:
$$x+3x+3x+2=7x+2$$

A., D.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Korzystając ze wzoru na pole trapezu, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(9cm+1cm)\cdot6cm \\
P=\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot6cm \\
P=30cm^2$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Musimy ustalić jaka jest długość tego ramienia, której to miary nie znamy. Aby poznać tę długość, musimy zauważyć następujący trójkąt prostokątny:


Teraz korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$8^2+6^2=x^2 \\
64+36=x^2 \\
x^2=100 \\
x=10 \quad\lor\quad x=-10$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(x=10\), a to oznacza, że taka też będzie długość najdłuższego boku tej figury.

B

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian składa się z sześciu ścian, które są kwadratami. Skoro pole powierzchni całkowitej jest równe \(150 cm^2\), to każda z tych sześciu ścian będzie mieć powierzchnię:
$$150cm^2:6=25cm^2$$

Skoro każda ściana jest kwadratem o polu \(25cm^2\), to bok tego kwadratu będzie mieć długość:
$$P=a^2 \\
25cm^2=a^2 \\
a=5cm$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(5cm\) będzie mieć objętość:
$$V=a^3 \\
V=(5cm)^3 \\
V=125cm^3$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Współrzędna \(x_{C}\) jest o \(2\) większa od współrzędnej \(x_{B}\) i analogicznie współrzędna \(x_{D}\) jest o \(2\) większa od współrzędnej \(x_{A}\) (czyli obrazowo rzecz ujmując - odległości "po skosie" pomiędzy poszczególnymi wierzchołkami są jednakowe). Skoro tak i skoro współrzędne \(y_{C}=y_{D}\) (czyli są tak jakby w jednej linii poziomej), to mamy pewność, że rzeczywiście ta figura będzie równoległobokiem. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Długość boku \(AB\) wynosi \(4\) jednostki. Aby więc powstał nam romb, to bok np. \(AD\) też musiałby mieć tą samą długość. W tym przypadku tak się nie stanie, długość tego boku będzie nieco większa niż \(4\), co można albo obliczyć z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa, albo też dostrzegając to po kratkach. Zdanie jest więc fałszem.

D

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościennego pudełka.
Skoro objętość sześciennej kostki jest równa \(1dm^3\) to możemy stwierdzić, że długość krawędzi tego sześcianu wynosi \(1dm\).

Tym samym, bazując na informacjach z treści zadania możemy stwierdzić, że wymiary naszego prostopadłościanu będą następujące:
$$\frac{1}{3}a=1dm \\
a=3dm$$

$$\frac{1}{2}b=1dm \\
b=2dm$$

$$\frac{2}{5}c=1dm \\
c=\frac{5}{2}dm=2,5dm$$

Krok 2. Obliczenie objętości pudełka.
Objętość tego pudełka jest zatem równa:
$$V=abc \\
V=3dm\cdot2dm\cdot2,5dm \\
V=15dm^3$$

Udowodniono, pokazując iż cena hulajnogi w sklepie \(A\) wynosi \(x\), z kolei w sklepie \(C\) wynosi \(0,96x\).

Krok 1. Zapisanie wyrażeń algebraicznych opisujących ceny hulajnogi.
W tym zadaniu musimy pamiętać, że jeżeli cena stanowi np. \(80\%\) jakiejś wartości, to w postaci wyrażenia algebraicznego będzie to \(0,8x\). Tym samym moglibyśmy zapisać, że:
\(x\) - cena w sklepie \(A\)
\(0,8x\) - cena w sklepie \(B\)

Wiemy też, że w sklepie \(C\) cena hulajnogi stanowi \(1,2\) ceny sklepu \(B\), czyli:
\(1,2\cdot0,8x=0,96x\) - cena w sklepie \(C\)

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
\(0,96x\) jest mniejsza od ceny \(x\), a więc cena hulajnogi w sklepie \(C\) jest niższa od ceny hulajnogi w sklepie \(A\), co należało udowodnić.

\(96 zł\)

Rozpiszmy zakupy Kamila w następujący sposób:

Koszulka kosztowała:
$$\frac{1}{5}\cdot300zł=60zł$$

Po zakupie koszulki pozostało mu:
$$300zł-60zł=240zł$$

Torba kosztowała:
$$\frac{3}{5}\cdot240zł=144zł$$

Po zakupie torby pozostało mu:
$$240zł-144zł=96zł$$

Trasę w krótszym czasie przejechał Kuba.

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy Pawła.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na prędkość, który musimy jeszcze przekształcić, by obliczyć czas jazdy Pawła.
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v}$$

Podstawiając teraz znane dane do tego wzoru, otrzymamy:
$$t=\frac{7,5km}{18\frac{km}{h}} \\
t=\frac{2,5}{6}h \\
t=\frac{25}{60}h=25 min.$$

Krok 2. Ustalenie, który z chłopców przejechał tę trasę w krótszym czasie.
Kuba pokonywał trasę od godziny 8:44 do 9:06, czyli zajęło mu to \(22\) minuty. Z kolei Paweł pokonał tę trasę w \(25\) minut. To oznacza, że tę trasę w krótszym czasie przejechał Kuba.

\(135\)

Krok 1. Obliczenie długości \(x\).
Spójrzmy na pierwszą oś liczbową. Widzimy wyraźnie, że dwie "cząstki" są równe \(5\), a więc tym samym każda cząstka ma długość \(2,5\). Odległość od punktu \(K\) do \(M\) wynosi \(9\) części, zatem:
$$x=9\cdot2,5=22,5$$

Krok 2. Obliczenie długości \(y\).
W przypadku drugiej osi widzimy, że \(9\) "cząstek" ma długość \(18\), a więc tutaj każda cząstka ma długość \(2\). Odległość od punktu \(P\) do \(R\) wynosi \(3\) części, zatem:
$$y=3\cdot2=6$$

Krok 3. Obliczenie iloczynu \(x\cdot y\).
Tym samym iloczyn \(x\cdot y\) będzie równy:
$$x\cdot y=22,5\cdot6=135$$

\(P=60cm^2\)

Krok 1. Obliczenie długości boków trójkąta.
Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(x\) - długość podstawy
\(x+3\) - długość ramienia

Każdy trójkąt równoramienny ma jedną podstawę oraz dwa ramiona, więc skoro obwód tej figury jest równy \(36 cm\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$x+2\cdot(x+3)=36 \\
x+2x+6=36 \\
3x+6=36 \\
3x=30 \\
x=10$$

Tym samym możemy stwierdzić, że podstawa ma długość \(10cm\), a ramię tego trójkąta ma \(13cm\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta.
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem powstanie nam taka oto sytuacja:


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$5^2+h^2=13^2 \\
25+h^2=169 \\
h^2=144 \\
h=12 \quad\lor\quad h=-12$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(h=12\).

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta.
Wiedząc, że podstawa \(a=10\) oraz wysokość to \(h=12\) możemy bez problemu obliczyć pole naszego trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot12cm \\
P=60cm^2$$

\(V=24,5cm^3\)

Krok 1. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
W podstawie ostrosłupa mamy kwadrat o boku \(3,5cm\), zatem jego obwód będzie równy:
$$Obw=4\cdot3,5cm \\
Obw=14cm$$

Z treści zadania wiemy, że wysokość ostrosłupa jest o \(8cm\) mniejsza od obwodu podstawy, zatem wysokość ostrosłupa ma długość:
$$H=14cm-8cm=6cm$$


$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=(3,5cm)^2 \\
P_{p}=12,25cm^2$$


Objętość będzie więc równa:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12,25cm^2\cdot6cm \\
V=2cm\cdot12,25cm^2 \\
V=24,5cm^3$$