Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) – Matematyka – 2024 – Odpowiedzi

D

Z treści zadania wynika, że w Karpaczu było o \(6°C\) więcej niż w Szklarskiej Porębie, więc musimy znaleźć taką parę temperatur, w której różnica między wskazaniami wyniesie właśnie \(6°C\). Jedyną taką parą będą temperatury \(-2°C\) oraz \(-8°C\), co prowadzi nas do wniosku, że w Karpaczu było \(-2°C\), natomiast w Szklarskiej Porębie \(-8°C\).

To oznacza, że temperatury \(-5°C\) oraz \(-3°C\) musiały zostać zanotowana w Zakopanem i w Wiśle. Z treści zadania wynika, że w Wiśle temperatura była niższa niż w Zakopanem, co prowadzi nas do wniosku, że w Wiśle mieliśmy \(-5°C\), natomiast w Zakopanem \(-3°C\).

Po tej analizie jesteśmy w stanie stwierdzić, że temperaturę \(-5°C\) zanotowano w Wiśle.

B

Dość łatwo jest się pogubić w tym jakiej liczby szukamy, zwłaszcza że w grę wchodzą liczby ujemne. Podejdźmy więc do zadania bardziej matematycznie. Szukamy liczby \(x\), która po dodaniu liczby \(-4\) da wynik \((-5,25)\), czyli musimy rozwiązać następujące równanie:
$$x+(-4)=-5,25 \\
x-4=-5,25 \\
x=-1,25$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Mamy jednakowe podstawy potęg, które są ułamkami zwykłymi większymi od \(0\) i mniejszymi od \(1\). W takiej sytuacji liczba będzie tym większa, im mniejszy jest wykładnik potęgi (mówiąc bardziej obrazowo - im mniej razy przemnożymy przez siebie liczbę \(\frac{1}{5}\) tym większą wartość otrzymamy). Zapisana nierówność jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystając z działań na potęgach możemy rozpiszmy lewą i prawą stronę tego równania:
Lewa strona:
$$2^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(2\cdot\frac{1}{2}\right)^2=1^2=1$$
Prawa strona:
$$(-2)^3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^3\)=(-2)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^3=1^3=1$$

Lewa strona jest więc równa stronie prawej, zatem zdanie jest prawdą.

B., D.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Z treści zadania wynika, że czerwonych kulek jest \(3\) razy więcej niż zielonych i że jednocześniej tych czerwonych jest mniej niż niebieskich. Czyli wniosek z tego jest taki, że najwięcej mamy kulek niebieskich, potem są czerwone, a najmniej mamy kul zielonych.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Kulek zielonych mamy \(x\). Kulek czerwonych ma być trzy razy więcej niż zielonych, czyli jest ich \(3x\). Z treści zadania wynika też, że czerwonych kulek jest o \(2\) mniej niż niebieskich, czyli analogicznie wnioskować można, że kulek niebieskich mamy o \(2\) więcej niż czerwonych, czyli niebieskich będzie \(3x+2\). To oznacza, że wszystkich kulek mamy:
$$x+3x+3x+2=7x+2$$

D

Z rysunku wynika, że skoro między liczbą \(1\) i \(3\) mamy dwie kratki, to każda kratka w lewo/prawa pomniejsza/powiększa liczbę o \(1\). Tym samym jesteśmy w stanie stwierdzić, że:
\(k=-5 \\
m=-1 \\
t=5 \\
p=7\)

Sumę równą \(1\) otrzymamy jedynie w ostatniej odpowiedzi ponieważ:
$$k+m+p=-5+(-1)+7=-6+7=1$$

B. 2.,

Liczba jest podzielna przez \(3\) tylko wtedy, gdy suma cyfr tej liczby da wynik podzielny przez \(3\). Suma cyfr naszej liczby wynosi:
$$2+7+7+3+3=22$$

Liczba \(22\) nie jest podzielna przez \(3\), więc cała liczba \(27733\) nie jest podzielna przez \(3\), ponieważ suma cyfr tej liczby nie jest podzielna przez \(3\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Jeśli kąty \(\alpha, \beta, \gamma\) są kątami pewnego trójkąta, to suma ich miar jest na pewno równa \(180°\). Z treści zadania wiemy, że \(\alpha+\beta=130°\) i \(\alpha+\gamma=120°\), czyli moglibyśmy zapisać, że:
$$\alpha+\beta+\alpha+\gamma=130°+120° \\
\alpha+\alpha+\beta+\gamma=250°$$

Ustaliliśmy już, że \(\alpha+\beta+\gamma=180°\), zatem podstawiając tę informację do naszego równania, otrzymamy:
$$\alpha+180°=250° \\
\alpha=70°$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiedząc, że \(\alpha=70°\) i korzystając z równań zapisanych w treści zadania, możemy obliczyć miary kątów \(\beta\) oraz \(\gamma\). Widzimy, że \(\beta=130°-70°=60°\), natomiast \(\gamma=120°-70°=50°\). Największym kątem jest więc \(\alpha=70°\), natomiast najmniejszym \(\gamma=50°\). Różnica miar między tymi kątami jest równa \(20°\), więc zdanie jest prawdą.

A., C.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Masa rodzynek jest równa:
$$0,15\cdot320g=48g$$

Skoro orzechów mamy \(80g\), to masa orzechów będzie większa od masy rodzynek o \(80g-48g=32g\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Po dosypaniu orzechów wszystkich produktów mamy łącznie \(320g+80g=400g\). Orzechów jest tutaj \(80g\), czyli orzechy będą stanowić:
$$\frac{80g}{400g}=\frac{1}{5}=20\%$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Średnia liczba punktów zdobytych przez Antka wynosi:
$$śr=\frac{84}{6}=14$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Jeśli z siódmym meczu Antek zdobędzie \(21\) punktów to łącznie zdobyłby \(84+21=105\) punktów. Średnia po tych siedmiu spotkaniach wyniosłaby wtedy:
$$śr=\frac{105}{7}=15$$

Zdanie jest więc prawdą.

A., C.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Aby obliczyc pierwiastek z naszej liczby, trzeba będzie ją zamienić na ułamek niewłaściwy, a całość będzie wyglądać następująco:
$$\sqrt{6\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Tutaj najlepszym sposobem na obliczenie wartości tego pierwiastka będzie zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły:
$$\sqrt[3]{0,064}=\sqrt[3]{\frac{64}{1000}}=\frac{4}{10}=0,4$$

B

Z rysunku odczytujemy, że punkt o współrzędnych \((1,4)\) to wierzchołek \(G\), natomiast \((2,0)\) to punkt \(E\).

C

Skala \(1:5000\) informuje nas, że 1cm na mapie odpowiada odległości \(5000cm\) w rzeczywistości. \(5000cm\) to \(50 metrów\).

Skoro tak, to odcinek na mapie \(8,4cm\) będzie odpowiadał odległości równej:
$$8,4\cdot50m=420m$$

A

Krok 1. Obliczenie długości krótszego boku prostokąta.
Jeżeli założymy sobie, że krótszy bok prostokąta ma długość \(x\), to zgodnie z rysunkiem i treścią zadania jesteśmy w stanie stwierdzić, że dłuższy bok prostokąta (a tym samym długość boku kwadratu) ma długość \(6x\). Skoro obwód tego prostokąta ma mieć długość \(28\), to moglibyśmy zapisać, że:
$$2\cdot x+2\cdot6x=28 \\
2x+12x=28 \\
14x=28 \\
x=2$$

Krok 2. Obliczenie obwodu kwadratu.
Kwadrat ma bok o długości \(6x\), czyli:
$$a=6\cdot2 \\
a=12$$

Tym samym obwód tego kwadratu będzie równy:
$$Obw=4\cdot12 \\
Obw=48$$

C

Z treści zadania wynika, że teren na uprawę jabłoni oraz śliw ma powierzchnię:
$$200ar-130ar=70ar$$

\(\frac{1}{5}\) tego terenu przypada na jabłonie, zatem zajmują one:
$$\frac{1}{5}\cdot70ar=14ar$$

Tym samym śliwy zajmują powierzchnię:
$$70ar-14ar=56ar$$

Oczywiście można też od razu zauważyć, że śliwy stanowią \(\frac{4}{5}\) pozostałej części działki, zapisując wtedy, że:
$$\frac{4}{5}\cdot70ar=56ar$$

A

Ostrosłup trójkątny ma \(6\) krawędzi, natomiast sześciany mają \(12\) krawędzi. Jeśli przyjmiemy, że mamy \(x\) sześcianów, to zgodnie z treścią zadania będziemy mieć \(3x\) ostrosłupów. W takim razie możemy ułożyć następujące równanie:
$$x\cdot12+3x\cdot6=720 \\
12x+18x=720 \\
30x=720 \\
x=24$$

Jako \(x\) oznaczyliśmy liczbę sześcianów, czyli to czego szukaliśmy, zatem możemy stwierdzić, że są \(24\) sześciany.

\(p=\frac{4}{11}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zawodników.
Analizując diagram możemy stwierdzić, że wszystkich zawodników jest łącznie:
1+2+4+3+1=11

Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Mamy łącznie \(11 zawodników. Więcej niż \(20\) punktów zdobyło \(3+1=4\) zawodników. To oznacza, że prawdopodobieństwo, że losowo wybrany zawodnik zdobył więcej niż \(20\) punktów wynosi:
$$p=\frac{4}{11}$$

\(168\) kubków

Krok 1. Obliczenie liczby kubków w małym i dużym opakowaniu.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba kubków w małym opakowaniu
\(2x\) - liczba kubków w dużym opakowaniu

Z treści zadania wynika, że mamy \(6\) małych opakowań i \(2\) duże, które łącznie mają \(140\) kubków, zatem możemy ułożyć następujące równanie:
$$6\cdot x+2\cdot2x=140 \\
6x+4x=140 \\
10x=140 \\
x=14$$

To oznacza, że w małym opakowaniu mamy \(14\) kubków, a tym samym w dużym opakowaniu będziemy mieć \(2\cdot14=28\) kubków.

Krok 2. Obliczenie liczby kubków w sześciu dużych opakowaniach.
Celem zadania jest ustalenie ile kubków jest w dużych opakowaniach. Skoro mamy \(6\) opakowań, a w każdym znajduje się \(28\) kubków, to łącznie tych kubków będziemy mieć:
$$6\cdot28=168$$

\(P=24m^2\)

Krok 1. Obliczenie długości boków kwietnika.
Skoro krótsze ścieżki mają \(1,5 m\) długości, a dłuższe \(2,5 m\), to sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Widzimy, że w takim razie kwietnik musi mieć jeden bok o długości \(9 m-2\cdot1,5 m=6 m\) oraz drugi bok o długości \(9 m-2\cdot2,5 m=4 m\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni kwietnika.
Skoro kwietnik jest prostokątem o bokach \(6 m\times4 m\), to jego pole będzie równe:
$$P=6m\cdot4m \\
P=24m^2$$

\(V=63cm^3\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Zwyczajowo krawędzie graniastosłupa opisujemy jako \(a\), \(b\) oraz \(c\). Skoro jednak w podstawie graniastosłupa jest kwadrat, to możemy przyjąć, że krawędzie podstawy mają długość \(a\) oraz \(a\), natomiast krawędzie boczne to np. \(c\).

Krok 2. Zapisanie równań.
Zerkając na pierwszy rysunek możemy stwierdzić, że:
$$2a+3c=27$$

Z kolei z drugiego rysuunku wynika, że:
$$3a+3c=30$$

Krok 3. Zbudowanie i rozwiązanie układu równań.
Z zapisanych wcześniej równań możemy zbudować układ:
\begin{cases}
2a+3c=27 \\
3a+3c=30
\end{cases}

Możemy zastosować dowolną metodę na rozwiązanie tego układu, najprościej będzie chyba zastosować metodę przeciwnych współczynników. W tym celu moglibyśmy pomnożyć obydwie strony pierwszego równania przez \(-1\), a całość obliczeń wyglądałaby następująco:
\begin{cases}
-2a-3c=-27 \\
3a+3c=30
\end{cases}

Dodając teraz te równania stronami, otrzymamy:
$$a=3$$

Chcąc teraz poznać długość krawędzi bocznej, czyli \(c\), wystarczy podstawić obliczone \(a=3\) do jednego z równań z układu, np. pierwszego:
$$2\cdot3+3c=27 \\
6+3c=27 \\
3c=21 \\
c=7$$

Tym samym wiemy już, że w podstawie naszego graniastosłupa mamy kwadrat o boku \(3 cm\), a wysokość tej bryły to \(7 cm\).

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Korzystając ze wzoru na objętość, możemy zapisać, że:
$$V=3cm\cdot3cm\cdot7cm \\
V=63cm^3$$