Egzamin ósmoklasisty – Matematyka – 2026 – Odpowiedzi

A

Krok 1. Obliczenie procentowego udziału zadań z arytmetyki.
Suma wszystkich zadań to \(100\%\). Aby się więc dowiedzieć, jaki jest udział procentowy zadań z arytmetyki, musimy odjąć od \(100\%\) wszystkie wartości dla pozostałych działów odczytane z diagramu:
$$100\%-(20\%+25\%+15\%+5\%)=100\%-65\%=35\%$$

Krok 2. Obliczenie liczby zadań z arytmetyki.
Aby obliczyć liczbę zadań z arytmetyki, musimy obliczyć ile to jest \(35\%\) z liczby \(40\) zadań:
$$0,35\cdot40=14$$

B

Krok 1. Wyznaczenie cyfry \(X\).
Szukamy największego wspólnego dzielnika (NWD) liczb \(18\) i \(27\).
Dzielniki liczby \(18\) to: \(1, 2, 3, 6, 9, 18\).
Dzielniki liczby \(27\) to: \(1, 3, 9, 27\).
Największym wspólnym dzielnikiem jest \(9\), więc \(X=9\).

Krok 2. Wyznaczenie cyfry \(Y\).
Szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) liczb \(2\) i \(4\).
Wielokrotności liczby \(2\) to: \(2, 4, 6, 8...\)
Wielokrotności liczby \(4\) to: \(4, 8, 12...\)
Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest \(4\), więc \(Y=4\).

Krok 3. Złożenie kodu.
Kod ma postać \(YXXY\), co po podstawieniu cyfr daje \(4994\).

C

Zadanie jest bardzo proste, o ile pamiętamy o tym, że najpierw trzeba wykonać działania pod pierwiastkiem, a dopiero potem samo pierwiastkowanie. Poszczególne liczby wyglądają więc następująco:
\(w=\sqrt{36}-2=6-2=4 \\
x=12-\sqrt{100}=12-10=2 \\
y=\sqrt{9}-3=3-3=0 \\
z=7-\sqrt{25}=7-5=2\)

Liczbą równą \(0\) jest \(y\).

A

Korzystając z własności potęg o tych samych podstawach (przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach dodajemy wykładniki), otrzymamy:
$$2^{5}\cdot3^{1}\cdot3^{4}\cdot2^{3}= \\
=(2^{5}\cdot2^{3})\cdot(3^{1}\cdot3^{4})= \\
=2^{5+3}\cdot3^{1+4}= \\
=2^{8}\cdot3^{5}$$

D

Kocur kosztował \(x\). Zniżka wynosi \(40\%\), więc Janek zapłacił \(60\%\) ceny początkowej, czyli \(0,6x\).
Kotka kosztowała \(y\). Zniżka wynosi \(20\%\), więc Janek zapłacił \(80\%\) ceny początkowej, czyli \(0,8y\).

Suma, którą zapłacił Janek to w takim razie \(0,6x+0,8y\)

A oraz C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Aby suma dowolnych dwóch liczb z pozostałych w pudełku kul była zawsze parzysta, wszystkie te kule muszą mieć liczby o tej samej parzystości (albo wszystkie parzyste, albo wszystkie nieparzyste).
W zbiorze liczb od \(1\) do \(11\) mamy:
- \(5\) liczb parzystych, czyli \(2, 4, 6, 8, 10\)
- \(6\) liczb nieparzystych, czyli \(1, 3, 5, 7, 9, 11\)

W pudełku było \(11\) kul, wylosowano \(5\), więc zostało \(6\) kul. Ponieważ mamy tylko \(5\) liczb parzystych, niemożliwe jest, aby pozostało \(6\) kul parzystych. Zatem w pudełku musiało zostać \(6\) kul nieparzystych.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Skoro w pudełku zostały wszystkie kule nieparzyste, to wylosowano wszystkie kule parzyste, czyli \(2, 4, 6, 8, 10\). Ich suma to:
$$2+4+6+8+10=30$$

B

Krok 1. Obliczenie liczby owoców w jednym koszu.
Łącznie jest \(400\) owoców w \(10\) koszach, a w każdym jest ich tyle samo. W takim razie liczba owoców w jednym koszu jest równa:
$$400:10=40$$

Krok 2. Obliczenie liczby jabłek w jednym koszu.
Jeśli jako \(j\) oznaczymy liczbę jabłek w jednym koszu, to wtedy liczba pomarańczy będzie równa \(j-6\). W takim razie możemy zapisać, że:
$$j+(j-6)=40 \\
2j-6=40 \\
2j=46 \\
j=23$$

W takim razie w jednym koszu mamy \(23\) jabłka.

Krok 3. Obliczenie łącznej liczby jabłek.
W \(10\) koszach łączna liczba jabłek będzie równa:
$$10\cdot23=230$$

B oraz D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Podstawiając \(n=100\) do podanego wzoru, otrzymamy:
$$S=\frac{1}{2}\cdot100\cdot(100+1)=50\cdot101=5050$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Wymnażając czynnik stojący przed nawiasem, przez każdy element w nawiasie, otrzymamy:
$$S=\frac{1}{2}n(n+1) \\
S=\frac{1}{2}n\cdot n+\frac{1}{2}n\cdot1 \\
S=\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$$

D

Średnia arytmetyczna dwóch liczb \(x\) i \(y\) jest równa \(4\), zatem:
$$\frac{x+y}{2}=4 \\
x+y=8$$

I tak samo rozpisujemy średnią dla trzech liczb \(x\), \(y\), \(z\), która jest równa \(5\):
$$\frac{x+y+z}{3}=5 \\
x+y+z=15$$

Skoro \(x+y=8\), to podstawiając teraz tę informację do powyższego równania, otrzymamy:
$$8+z=15 \\
z=15-8 \\
z=7$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wzór na wysokość trójkąta równobocznego to \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Podstawiając do tego wzoru \(a=2\), otrzymamy:
$$h=\frac{2\sqrt{3}}{2} \\
h=\sqrt{3}$$

Zdanie pierwsze jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wzór na pole trójkąta równobocznego to \(P=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\). Podstawiając do tego wzoru \(a=2\), otrzymamy:
$$P=\frac{2^{2}\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{4\sqrt{3}}{4} \\
P=\sqrt{3}$$

Zdanie drugie jest więc prawdą.

C

Krok 1. Zapisanie miar kątów za pomocą niewiadomej \(\alpha\).
Z treści zadania wynika, że:
Kąt pierwszy: \(\alpha\)
Kąt drugi: \(\beta=\alpha+70^{\circ}\)
Kąt trzeci: \(\gamma=2\alpha\)
Kąt czwarty: \(\delta=90^{\circ}\)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi \(360^{\circ}\), zatem:
$$\alpha+(\alpha+70^{\circ})+2\alpha+90^{\circ}=360^{\circ} \\
4\alpha+160^{\circ}=360^{\circ} \\
4\alpha=200^{\circ} \\
\alpha=50^{\circ}$$

Skoro \(\alpha=50°\), to poszukiwana \(\beta\) ma miarę:
$$\beta=\alpha+70° \\
\beta=50°+70° \\
\beta=120°$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Odległość schroniska (\(S\)) od muzeum (\(M\)) wynosi \(5 km\) (wynika to wprost z treści zadania). Odległość schroniska (\(S\)) od wieży widokowej (\(W\)) obliczamy z twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątne to przesunięcia na północ \(3 km\) i zachód \(4 km\), zatem:
$$|SW|^{2}=3^{2}+4^{2} \\
|SW|^{2}=9+16 \\
|SW|^{2}=25 \\
|SW|=5$$

Obie odległości są równe \(5 km\), więc pierwsze zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest odcinek \(MW\). Przesunięcie w pionie to \(3 km\), a w poziomie to suma odległości od osi pionowej: \(4 km\) (na zachód) oraz \(5 km\) (na wschód), czyli \(9 km\). Możemy zatem zapisać, że:
$$|MW|^{2}=3^{2}+9^{2} \\
|MW|^{2}=9+81 \\
|MW|^{2}=90 \\
|MW|=\sqrt{90}$$

Ponieważ \(\sqrt{90}\lt\sqrt{100}\), a \(\sqrt{100}=10\), to odległość ta jest mniejsza niż \(10 km\). Drugie zdanie jest zatem prawdą.

D

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AD\).
Znamy pole trójkąta \(ADE\) oraz jego wysokość opuszczoną na bok \(AD\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
28=\frac{1}{2}\cdot|AD|\cdot7 \\
56=7\cdot|AD| \\
|AD|=8$$

Krok 2. Obliczenie pola kwadratu \(ABCD\).
Bok \(AD\) jest jednocześnie bokiem kwadratu \(ABCD\). Pole kwadratu to długość boku podniesiona do kwadratu, zatem:
$$P_{ABCD}=8^{2} ||
P_{ABCD}=64$$

A

Krok 1. Ustalenie wymiarów prostopadłościanu.
Prostopadłościan składa się z trzech sześcianów o krawędzi \(5\). Jego podstawa to kwadrat o boku \(5\), a wysokość to suma trzech krawędzi:
$$h=3\cdot5 \\
h=15$$

Wymiary prostopadłościanu to w takim razie \(5\times5\times15\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Pole powierzchni całkowitej składa się z dwóch podstaw o wymiarach \(5\times5\) oraz czterech ścian bocznych o wymiarach \(5\times15\), zatem będzie ono równe:
$$P_{c}=2\cdot(5\cdot5)+4\cdot(5\cdot15) \\
P_{c}=2\cdot25+4\cdot75 \\
P_{c}=50+300=350$$

\(57\) niebieskich kartek

Krok 1. Zapisanie danych za pomocą niewiadomej.
Oznaczmy jako \(c\) liczbę kartek czerwonych. Wtedy:
Liczba kartek białych: \(37\)
Liczba kartek niebieskich: \(1,5c\)
Liczba kartek zielonych: \(c-10\)
Liczba kartek czerwonych: \(c\)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma wszystkich kartek wynosi \(160\), zatem możemy zapisać, że:
$$37+1,5c+(c-10)+c=160 \\
3,5c+27=160 \\
3,5c=133 \\
c=38$$

Krok 3. Obliczenie liczby kartek niebieskich.
Liczba kartek niebieskich to \(1,5c\), zatem:
$$1,5\cdot38=57$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą prowadzące do obliczenia liczby kartek któregoś koloru (Krok 1. i 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Czas przejazdu wynosi \(1\frac{1}{24}h\), czyli więcej niż godzinę.

Krok 1. Obliczenie prędkości samochodu.
Samochód pokonał \(48 km\) w czasie \(40\) minut. Zamieniamy czas na godziny:
$$t_{1}=40\text{ min} \\
t_{1}=\frac{40}{60}\text{ h} \\
t_{1}=\frac{2}{3}\text{ h}$$

Teraz możemy obliczyć prędkość, korzystając ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\), zatem:
$$v=\frac{48}{\frac{2}{3}} \\
v=48\cdot\frac{3}{2} \\
v=72\text{ km/h}$$

Krok 2. Obliczenie długości trasy z Jodłowa do Dębiny.
Cała trasa ma \(123 km\), a pierwszy odcinek \(48 km\), więc trasa z Jodłowa do Dębiny ma długość:
$$s_{2}=123-48 \\
s_{2}=75\text{ km}$$

Krok 3. Obliczenie czasu przejazdu drugiego odcinka.
Korzystając ze wzoru na czas \(t=\frac{s}{v}\), możemy zapisać, że:
$$t_{2}=\frac{75}{72}\text{ h}=1\frac{3}{72}\text{ h}=1\frac{1}{24}\text{ h}$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Czas przejazdu wynosi \(1\frac{1}{24}\) godziny, czyli jest dłuższy niż godzina, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz prędkość, z jaką samochód jechał z Polanki do Jodłowa (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość trasy z Jodłowa do Dębiny (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz prędkość samochodu oraz długość trasy z Jodłowa do Dębiny (Krok 1. i 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy obliczysz czas przejazdu i sformułujesz poprawny wniosek, że jest on dłuższy niż godzina (Krok 3. i 4.).

\(29\%\)

Krok 1. Zapisanie łącznej liczby chłopców i dziewcząt.
Z tabeli odczytujemy liczbę chłopców:
$$46+16+34=96$$

Niech \(x\) oznacza liczbę dziewcząt grających w tenisa stołowego. Łączna liczba dziewcząt to:
$$15+65+x=80+x$$

Krok 2. Obliczenie liczby dziewcząt grających w tenisa stołowego.
Z treści zadania wiemy, że łączna liczba dziewcząt była o \(8\) większa od łącznej liczby chłopców:
$$80+x=96+8 \\
80+x=104 \\
x=24$$

Krok 3. Obliczenie łącznej liczby uczestników i uczestników turnieju tenisa stołowego.
Łączna liczba wszystkich uczestników (chłopcy + dziewczęta):
$$96+104=200$$

Liczba dzieci biorących udział w turnieju tenisa stołowego (chłopcy + dziewczęta):
$$34+24=58$$

Krok 4. Obliczenie procentu.
Obliczamy, jakim procentem liczby \(200\) jest liczba \(58\):
$$\frac{58}{200}\cdot100\%=\frac{58}{2}\%=29\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz łączną liczbę dziewcząt albo łączną liczbę uczestników Dnia Sportu (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę dziewcząt grających w tenisa stołowego (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz łączną liczbę uczestników oraz liczbę dzieci biorących udział w turnieju tenisa stołowego (Krok 3.) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (Krok 4.).

Objętość ostrosłupa \(ACDS\) jest 12 razy mniejsza od objętości sześcianu.

Krok 1. Wyznaczenie objętości sześcianu.
Wzór na objętość sześcianu o krawędzi \(a\) to:
$$V_{sz}=a^{3}$$

Krok 2. Wyznaczenie objętości ostrosłupa \(ACDS\).
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny \(ACD\), który stanowi połowę kwadratu \(ABCD\). Pole podstawy ostrosłupa wynosi:
$$P_{p}=\frac{1}{2}a^{2}$$

Wysokością ostrosłupa jest odcinek \(DS\), ponieważ krawędź \(DH\) jest prostopadła do podstawy sześcianu. Punkt \(S\) jest środkiem krawędzi \(DH\), więc wysokość ostrosłupa to:
$$h=\frac{1}{2}a$$

Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru \(V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot h\):
$$V_{o}=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}a^{2}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}a\right)=\frac{1}{12}a^{3}$$

Krok 3. Obliczenie stosunku objętości.
Dzielimy objętość sześcianu przez objętość ostrosłupa:
$$\frac{V_{sz}}{V_{o}}=\frac{a^{3}}{\frac{1}{12}a^{3}}=12$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wyrażenie opisujące objętość ostrosłupa \(ACDS\) w zależności od długości krawędzi sześcianu (Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzory na objętość sześcianu i ostrosłupa z uwzględnieniem zależności między ich wymiarami (Krok 1. i 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (Krok 3.).

\(142,80 zł\)

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni ogródka.
Ogródek ma kształt trapezu. Korzystamy ze wzoru na pole trapezu \(P=\frac{a+b}{2}\cdot h\):
$$P=\frac{18+12}{2}\cdot9 \\
P=\frac{30}{2}\cdot9 \\
P=15\cdot9=135\text{ m}^{2}$$

Krok 2. Obliczenie potrzebnej liczby opakowań.
Jedno opakowanie wystarcza na \(25 m^{2}\). Dzielimy pole ogródka przez wydajność jednego opakowania:
$$135:25=5,4$$

Pani Anna nie może kupić ułamka opakowania, więc aby obsiać całą powierzchnię, musi kupić \(6\) opakowań.

Krok 3. Obliczenie kosztu zakupu.
Mnożymy liczbę potrzebnych opakowań przez cenę jednego opakowania:
$$6\cdot23,80zł=142,80zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni ogródka (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz najmniejszą liczbę opakowań z nasionami potrzebnych na obsianie całej powierzchni (Krok 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (Krok 3.).

\(Obw=18+6\sqrt{2}\)

Krok 1. Analiza wymiarów figur po rozcięciu.
Prostokąt miał wymiary \(3\) i \(9\). Odcięto z niego trójkąt prostokątny równoramienny. Aby trójkąt wycięty z prostokąta o szerokości \(3\) był równoramienny, jego przyprostokątne muszą mieć długość \(3\) i \(3\).
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną tego trójkąta:
$$c^{2}=3^{2}+3^{2} \\
c^{2}=9+9=18 \\
c=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

Pozostała figura to trapez prostokątny. Jego krótsza podstawa ma długość \(9-3=6\), dłuższa podstawa ma długość \(9\), wysokość to \(3\), a ramię ukośne to przeciwprostokątna odciętego trójkąta, czyli \(3\sqrt{2}\).

Krok 2. Złożenie równoległoboku.
Aby z trapezu i trójkąta złożyć równoległobok niebędący prostokątem, figury te połączono wzdłuż odcinków o równej długości. Z rysunku 2. wynika, że figury połączono wzdłuż boku o długości 3 (wysokość trapezu i przyprostokątna trójkąta).

Dzięki temu krótsza podstawa trapezu o długości \(6\) została przedłużona o drugą przyprostokątną trójkąta o długości \(3\), tworząc bok równoległoboku o długości \(6+3=9\).
Przeciwległy bok równoległoboku to dłuższa podstawa trapezu, która również ma długość \(9\).
Pozostałe dwa boki równoległoboku to ukośne ramię trapezu oraz przeciwprostokątna trójkąta. Oba te odcinki mają długość \(3\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie obwodu równoległoboku.
Równoległobok ma dwa boki o długości \(9\) oraz dwa boki o długości \(3\sqrt{2}\).
$$Obw=2\cdot9+2\cdot3\sqrt{2} \\
Obw=18+6\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz z twierdzenia Pitagorasa długość przeciwprostokątnej trójkąta powstałego z rozcięcia, czyli \(3\sqrt{2}\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy poprawnie ustalisz boki równoległoboku i zapiszesz sposób obliczenia jego obwodu (Krok 2.), ale popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (Krok 3.).