Egzamin ósmoklasisty - Matematyka - 2025

Poniżej znajduje się egzamin ósmoklasisty z matematyki (CKE – maj 2025). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin ósmoklasisty 2025 - matematyka

Arkusz zawiera 15 zadań zamkniętych oraz 6 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 30 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to około 125 minut.

Zadanie 1. (1pkt) Deskorolka kosztuje $180 zł$. Na diagramie przedstawiono kwoty, które Aldona odłożyła w styczniu, w lutym, w marcu i w kwietniu na zakup deskorolki.
egzamin ósmoklasisty

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

W styczniu i lutym łącznie Aldona odłożyła $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$ kwoty potrzebnej na zakup deskorolki.

$45\%$

$50\%$

W marcu Aldona odłożyła kwotę o $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$ większą od kwoty odłożonej w styczniu.

$10\%$

$20\%$

Zadanie 2. (1pkt) Dane jest wyrażenie
$$\left(2,4-5\frac{1}{3}\right):(-2)$$

Wartość tego wyrażenia jest równa:

$\left(-1\frac{8}{15}\right)$

$\left(-1\frac{7}{15}\right)$

$1\frac{7}{15}$

$1\frac{8}{15}$

Zadanie 3. (1pkt) Dane są liczby: $91, 92, 95, 97$. Która z podanych liczb przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $1$?

$91$

$92$

$95$

$97$

Zadanie 4. (1pkt) Średnia arytmetyczna czterech liczb $a, b, c, d$ jest równa $9$, a średnia arytmetyczna dwóch liczb $e$ i $f$ jest równa $6$.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Suma liczb $a, b, c, d$ jest o $\(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$\) większa od sumy liczb $e$ i $f$.

$3$

$24$

Średnia arytmetyczna liczb $a, b, c, d, e, f$ jest równa $\(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$\).

$8$

$7,5$

Zadanie 5. (1pkt) Obwód pięciokąta przedstawionego na rysunku wyraża się wzorem $L=2a+2b+c$.
egzamin ósmoklasisty

Wielkość $a$ wyznaczoną poprawnie z podanego wzoru opisuje równanie:

$a=\frac{L-2b-c}{2}$

$a=\frac{L-2b+c}{2}$

$a=L+2b-c$

$a=L-2b-c$

Zadanie 6. (1pkt) W pudełku znajdują się wyłącznie piłki białe, fioletowe i czarne. Piłek białych jest $4$ razy więcej niż fioletowych i o $3$ mniej niż czarnych. Liczbę piłek fioletowych oznaczymy przez $x$.

Łączną liczbę wszystkich piłek w pudełku opisuje wyrażenie:

$9x+3$

$9x-3$

$6x+3$

$6x-3$

Zadanie 7. (1pkt) Dane są wyrażenia:
$K=\frac{1}{9}\cdot\sqrt{\frac{1}{16}}-\frac{1}{16}\cdot\sqrt{\frac{1}{9}} \\
L=9\cdot\sqrt{16}-16\cdot\sqrt{9}$

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wyrażenie $K$ ma wartość ujemną.

Wartość wyrażenia $L$ jest większa od wartości wyrażenia $K$.

Zadanie 8. (1pkt) Wartość wyrażenia $8^6:4^3$ zapisana w postaci potęgi liczby $2$ jest równa:

$2^2$

$2^3$

$2^4$

$2^{12}$

Zadanie 9. (1pkt) Rowerzysta pokonał odcinek drogi o długości $100 m$ z prędkością $5\frac{m}{s}$. Rowerzysta pokonał ten odcinek drogi w czasie:

$50$ sekund

$20$ sekund

$500$ sekund

$200$ sekund

Zadanie 10. (1pkt) Na loterię przygotowano $72$ losy i ponumerowano je kolejnymi liczbami naturalnymi od $1$ do $72$. Wygrywają losy o numerach od $1$ do $9$ i od $46$ do $72$. Pozostałe losy są puste. Ada jako pierwsza wyciąga jeden los.

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez Adę losu pustego jest równe:

$\frac{26}{72}$

$\frac{27}{72}$

$\frac{35}{72}$

$\frac{36}{72}$

Zadanie 11. (1pkt) Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na środku boku $AB$ zaznaczono punkt $D$. Następnie poprowadzono odcinek $DC$, dzielący trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty $ADC$ i $DBC$. Ponadto $|AD|=|DB|=30 cm$ oraz $|DC|=50 cm$ (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta $DBC$ jest równe $600 cm^2$

Pole trójkąta $ABC$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $ADC$

Zadanie 12. (1pkt) Na osi liczbowej zaznaczono punkty $A, B$ i $C$. Odcinek $AC$ jest podzielony na $6$ równych części.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współrzędna punktu $C$ jest liczbą parzystą.

Współrzędna punktu $B$ jest liczbą mniejszą od $74$.

Zadanie 13. (1pkt) Trapez $ABCD$ podzielono na trzy figury: kwadrat $AEGD$, trójkąt $EFG$ i romb $FBCG$ (zobacz rysunek). Na rysunku podano również długości boków trójkąta $EFG$.
egzamin ósmoklasisty

Obwód trapezu $ABCD$ jest równy:

$56$

$72$

$88$

$120$

Zadanie 14. (1pkt) W układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami równoległoboku $ABCD$: $A=(-3,-2), C=(4, 2), D=(-1, 2)$ (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Współrzędna $x$ wierzchołka $B$, niezaznaczonego na rysunku, jest liczbą dodatnią. Niezaznaczony na rysunku wierzchołek $B$ tego równoległoboku ma współrzędne:

$(4, -2)$

$(3, -2)$

$(2, -2)$

$(6, -2)$

Zadanie 15. (1pkt) Trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka prostopadłościanu mają długości: $5, 6, 7$ (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe:

$107$

$172$

$210$

$214$

Zadanie 16. (2pkt) Liczbę $\frac{7}{15}$ zapisano w postaci sumy trzech ułamków zwykłych, z których jeden jest równy $\frac{1}{5}$, a drugi $\frac{1}{6}$.

Uzasadnij, że trzeci składnik tej sumy można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, którego licznik jest równy $1$, a mianownik jest liczbą całkowitą dodatnią.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Skoro suma trzech naszych ułamków ma dać wynik równy $\frac{7}{15}$, to możemy ułożyć takie oto równanie:
$$\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{x}=\frac{7}{15} \\
\frac{5}{30}+\frac{6}{30}+\frac{1}{x}=\frac{14}{30} \\
\frac{11}{30}+\frac{1}{x}=\frac{14}{30} \\
\frac{1}{x}=\frac{3}{30} \\
\frac{1}{x}=\frac{1}{10}$$

Trzeci składnik tej sumy jest więc równy $\frac{1}{10}$. Tym samym udało się uzasadnić, że można go przedstawić w postaci ułamka zwykłego, którego licznik jest równy $1$, a mianownik jest liczbą całkowitą dodatnią.

Zadanie 17. (3pkt) Troje przyjaciół – Andrzej, Basia i Marek – zbiera plakaty. Andrzej ma o $28$ plakatów więcej od Basi, a Marek ma ich $3$ razy mniej od Basi. Andrzej i Marek mają razem $2$ razy więcej plakatów od Basi. Oblicz, ile plakatów ma każde z tych przyjaciół.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Na podstawie treści zadania moglibyśmy zapisać, że:
$x$ - plakaty Marka
$3x$ – plakaty Basi
$3x+28$ - plakaty Andrzeja

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie zadania.
Wiemy, że chłopcy mają łącznie $2$ razy więcej plakatów niż Basia. Moglibyśmy zatem zapisać, że:
$$x+3x+28=2\cdot3x \\
4x+28=6x \\
28=2x \\
x=14$$

Krok 3. Obliczenie liczby plakatów Andrzeja.
Obliczyliśmy, że $x=14$, czyli zgodnie z naszymi oznaczeniami wiemy już, że Marek ma $14$ plakatów. Musimy jeszcze obliczyć liczbę plakatów pozostałych osób, zatem:
Basia: $3\cdot14=42$
Andrzej: $3\cdot14+28=42+28=70$

Zadanie 18. (2pkt) Na rysunku przedstawiono trapez $ABCD$, w którym kąt $ABC$ ma miarę $48°$. Odcinek $EC$ dzieli ten trapez na równoległobok $AECD$ i trójkąt $EBC$, w którym kąt $BCE$ ma miarę $57°$ (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Oblicz miary kątów $DAB, BCD, CDA$ trapezu $ABCD$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie miary kąta $CEB$.
Zanim zaczniemy obliczać poszukiwane miary kątów, musimy poznać miarę kąta $CEB$. Spójrzmy na trójkąt $EBC$. Znamy dwie miary kątów w tym trójkącie, zatem skoro suma kątów w trójkątach wynosi zawsze $180°$, to:
$$|\sphericalangle CEB|=180°-57°-48°=75°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta $AEC$.
Kąt $AEC$ jest kątem przyległym do $CEB$. Suma miar kątów przyległych jest zawsze równa $180°$, zatem:
$$|\sphericalangle AEC|=180°-75°=105°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta $CDA$.
Zgodnie z własnościami równoległoboków, kąt $CDA$ ma tą samą miarę co kąt $AEC$, zatem możemy zapisać, że
$$|\sphericalangle CDA|=105°$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta $DAB$.
Suma kątów przy jednym ramieniu równoległoboku wynosi $180°$. W takim razie:
$$|\sphericalangle DAB|=180°-105°=75°$$

egzamin ósmoklasisty

Krok 5. Obliczenie miary kąta $BCD$.
Kąt $BCD$ będzie sumą kątów $DCE$ oraz $BCE$. Z własności równoległoboków wynika, że kąt $DCE$ ma tą samą miarę co kąt $DAB$, zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$|\sphericalangle BCD|=75°+57°=132°$$

Zadanie 19. (2pkt) Na ścianie wiszą dwie tablice: mała kwadratowa i duża prostokątna. Mała tablica narysowana w skali $1:20$ jest kwadratem o boku $3 cm$. Rzeczywiste wymiary dużej prostokątnej tablicy są równe $240 cm$ i $90 cm$. Oblicz, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu (w rzeczywistości).
Wiemy, że mała tablica narysowana w skali $1:20$ jest kwadratem o boku $3 cm$. Skala $1:20$ oznacza, że $1cm$ na rysunku odpowiada $20cm$ w rzeczywistości. To prowadzi nas do wniosku, że w rzeczywistości będzie do kwadrat o boku $60cm$.

Krok 2. Obliczenie pola małej tablicy.
Skoro mała tablica jest kwadratem o boku $60cm$, to jej pole będzie równe:
$$P=a^2 \\
P=(60cm)^2 \\
P=3600cm^2$$

Krok 3. Obliczenie pola dużej tablicy.
Duża tablica jest prostokątem o wymiarach $240cm\times90cm$, zatem jej pole będzie równe:
$$P=240cm\cdot90cm \\
P=21600cm^2$$

Krok 4. Obliczenie ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy.
Na koniec musimy jeszcze ustalić ile razy pole dużej tablicy będzie większe od pola małej tablicy, zatem:
$$21600cm^2:3600cm^2=6$$

Zadanie 20. (3pkt) Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $15 cm$. Każdy z boków $AB$ i $CD$ podzielono na trzy równe części, a każdy z boków $AD$ i $BC$ podzielono na pięć równych części. Na boku $BC$ zaznaczono punkt $E$, na boku $CD$ zaznaczono punkt $F$, a ponadto poprowadzono odcinki $AE$ i $AF$ (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Oblicz pole czworokąta $AECF$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie pola kwadratu.
Skoro jest to kwadrat o boku $15cm$ to jego pole będzie równe:
$$P_{K}=a^2 \\
P_{K}=(15cm)^2 \\
P_{K}=225cm^2$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta $ABE$.
egzamin ósmoklasisty

Patrząc się na to jak został podzielony nasz kwadrat możemy stwierdzić, że trójkąt prostokątny $ABE$ ma podstawę o długości $a=15cm$ oraz wysokość $h=6cm$. Tym samym jego pole będzie równe:
$$P_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot6cm\cdot15cm \\
P_{ABE}=3cm\cdot15cm \\
P_{ABE}=45cm^2$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta $ADF$.
Trójkąt $ADF$ jest trójkątem prostokątnym w którym $a=10cm$ oraz $h=15cm$, zatem:
$$P_{ADF}=\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot15cm \\
P_{ADF}=5cm\cdot15cm \\
P_{ADF}=75cm^2$$

Krok 4. Obliczenie pola czworokąta $AECF$.
Pole naszego czworokąta będzie równe polu kwadratu, które pomniejszymy o pola obydwu wyznaczonych trójkątów, zatem:
$$P_{AECF}=225cm^2-45cm^2-75cm^2 \\
P_{AECF}=105cm^2$$

Zadanie 21. (3pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi podstawy jest równa $12 cm$ (zobacz rysunek). Pole powierzchni jednej ściany bocznej tego ostrosłupa jest równe $108 cm^2$. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa.
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie krawędzi podstawy ostrosłupa.
Ściana boczna ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym, którego wysokośc wynosi $h=12cm$. Skoro więc pole tej ściany jestt równe $108 cm^2$, to możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
108 cm^2=\frac{1}{2}\cdot a\cdot12cm \\
108 cm^2=a\cdot6cm \\
a=18cm$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi bocznej.
Już wiemy, że ściana boczna naszego ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym o podstawie $a=18cm$ oraz wysokości $h=12cm$. Jedną z własności trójkątów równoramiennych jest fakt, iż wysokość dzieli podstawę na dwie równe części. To oznacza, że na rysunku powstanie nam trójkąt prostokątny, w którym jedna przyprostokątna ma długość $9cm$, a druga ma długość $12cm$.
egzamin ósmoklasisty

Przeciwprostokątną będzie zatem krawędź boczna, którą wyznaczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
$$9^2+12^2=x^2 \\
81+144=x^2 \\
x^2=225 \\
x=15 \quad\lor\quad x=-15$$

Długość krawędzi bocznej musi być dodatnia, zatem wiemy już, że ma ona długość $x=15cm$.

Krok 3. Obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa.
Nasz ostrosłup ma w podstawie kwadrat o boku $18cm$ (wiemy to, bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny), a do tego będziemy mieć jeszcze cztery krawędzie boczne, każda o długości $15cm$. Tym samym suma długości wszystkich krawędzi wyniesie:
$$4\cdot18cm+4\cdot15cm=72cm+60cm=132cm$$

Zdobyłeś/aś: 0/30pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2025 – Odpowiedzi

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2025 – PDF