Egzamin ósmoklasisty – Matematyka – 2025 – Odpowiedzi

B. oraz D.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
W styczniu i lutym Aldona odłożyła łącznie:
$$50zł+40zł=90zł$$

Deskorolka kosztuje \(180zł\), więc oszczędności Aldony stanowią więc \(50\%\) kwoty potrzebnej na zakup deskorolki.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
W marcu Aldona odłożyła \(60zł\), natomiast w styczniu \(50zł\). Odłożyła więc ona o \(10zł\) więcej niż w marcu, co stanowi \(\frac{10}{50}\) styczniowej kwoty, czyli \(20\%\).

C

Rozpisując nasze wyrażenie, otrzymamy:
$$\left(2,4-5\frac{1}{3}\right):(-2)=\left(\frac{24}{10}-\frac{16}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)= \\
=\left(\frac{72}{30}-\frac{160}{30}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)= \\
=\left(-\frac{88}{30}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)= \\
=\frac{44}{30}=\frac{22}{15}=1\frac{7}{15}$$

B

Jedyną taką liczbą będzie \(92\), ponieważ:
\(91:7=13 \\
92:7=13 \;r.1 \\
95:7=13 \;r.4 \\
97:7=13 \;r.6\)

B oraz C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Skoro średnia czterech liczb \(a, b, c, d\) jest równa \(9\), to ich suma będzie równa:
$$4\cdot9=36$$

Analogicznie, skoro średnia dwóch liczb \(e\) i \(f\) jest równa \(6\), to ich suma będzie równa:
$$2\cdot6=12$$

Różnica między tymi średnimi wyniesie zatem:
$$36-12=24$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Skoro suma czterech pierwszych liczb jest równa \(24\), a dwóch kolejnych jest równa \(12\), to średnia arytmetyczna naszych sześciu liczb wyniesie:
$$śr=\frac{36+12}{6} \\
śr=\frac{48}{6} \\
śr=8$$

A

Przekształcając nasz wzór, otrzymamy:
$$L=2a+2b+c \\
L-2b-c=2a \quad\bigg/:2 \\
a=\frac{L-2b-c}{2}$$

A

Zgodnie z treścią zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - piłki fiololetowe
\(4x\) - piłki białe
\(4x+3\) - piłki czarne (bo jest ich o \(3\) więcej niż białych)

Łącznie więc wszystkich piłek będziemy mieć:
$$x+4x+4x+3=9x+3$$

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Obliczenie wartości wyrażeń \(K\) oraz \(L\).
Zacznijmy od obliczenia wartości naszych obydwu wyrażeń. I tu ważna uwaga - musimy pamiętać o kolejności wykonywania działań! Najpierw mnożenie, potem odejmowanie.
$$K=\frac{1}{9}\cdot\sqrt{\frac{1}{16}}-\frac{1}{16}\cdot\sqrt{\frac{1}{9}}= \\
=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{3}
=\frac{1}{36}-\frac{1}{48}= \\
=\frac{4}{144}-\frac{3}{144}=\frac{1}{144}$$

$$L=9\cdot\sqrt{16}-16\cdot\sqrt{9}= \\
=9\cdot4-16\cdot3= \\
=36-48=-12$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wartość wyrażenia \(K\) wyszła nam dodania, zatem pierwsze zdanie jest fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wyrażenie \(L\) dało wynik mniejszy niż wyrażenie \(K\) (wręcz liczba \(L\) wyszła nam ujemna), więc to zdanie także jest fałszem.

D

Korzystając z działań na potęgach, nasze wyrażenie możemy rozpisać w następujący sposób:
$$8^6:4^3=(2^3)^6:(2^2)^3= \\
=2^{3\cdot6}:2^{2\cdot3}=2^{18}:2^{6}= \\
=2^{18-6}=2^{12}$$

B

Nawet z prostej proporcji wynika, że skoro rowerzysta pokonuje \(5m\) w ciągu sekundy, to dystans \(100m\) pokona w ciągu \(20\) sekund.

Jeśli tego nie dostrzegamy, to możemy skorzystać ze wzoru na prędkość, który po przekształceniu przyjmie następującą postać:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v}$$

Podstawiając teraz dane z treści zadania, otrzymamy:
$$t=\frac{100m}{5\frac{m}{s}} \\
t=20s$$

D

Z treści zadania wynika, że pustymi losami są te o numerach od \(10\) do \(45\) włącznie. To oznacza, że takich losów jest \(36\). Tym samym prawdopodobieństwo wyciągnięcia pustego losu jest równe \(\frac{36}{72}\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie wysokości \(BC\).
Spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Jest to trójkąt prostokątny w którym znamy dwie długości boków. Brakującą długość przyprostokątnej \(BC\) (która jest jednocześnie wysokością tego trójkąta), możemy obliczyć z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa:
$$30^2+|BC|^2=50^2 \\
900+|BC|^2=2500 \\
|BC|^2=1600 \\
|BC|=40 \quad\lor\quad |BC|=-40$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem wiemy już, że \(|BC|=40cm\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wiemy, że w trójkącie \(DBC\) podstawa ma długość \(a=30cm\), natomiast wysokość to \(h=40cm\), zatem pole tej figury będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot30cm\cdot40cm \\
P=600cm^2$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Trójkąt \(ABC\) ma podstawę o długości \(a=30cm+30cm=60cm\) oraz wysokość \(h=40cm\). Jego pole będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot60cm\cdot40cm \\
P=1200cm^2$$

Trójkąt \(ADC\) ma podstawę o długości \(a=30cm\) oraz wysokość \(h=40cm\). Jego pole będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot30cm\cdot40cm \\
P=600cm^2$$

Tym samym pole trójkąta \(ABC\) jest rzeczywiście dwa razy większe od pola trójkąta \(ADC\), więc zdanie jest prawdą.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Powinniśmy dostrzec, że nasza oś liczbowa ma skalę równą \(9\) (czyli że wraz z każdą kolejną pionową kreską mamy liczby o \(9\) większe od poprzedniej). Skąd to wiemy? Od liczby \(56\) do liczby \(83\) mamy \(3\) części naszej osi, zatem:
$$\frac{83-56}{3}=\frac{27}{3}=9$$

Tym samym możemy stwierdzić, że współrzędna punktu \(C\) będzie równa:
$$83+9+9=101$$



Otrzymaliśmy liczbę nieparzystą, zatem zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Pionowa kreska stojąca tuż za punktem \(B\) ma współrzędną równą \(83-9=74\). Punkt \(B\) znajduje się przed tą linią, więc jego współrzędna jest na pewno mniejsza od \(74\). Zdanie jest więc prawdą.

A

Skoro figura \(AEGD\) jest kwadratem, to wszystkie boki tej figury mają długość równą \(6\). Analogicznie, skoro \(FBCG\) jest rombem, to tutaj też wszystkie boki mają długość \(10\).


To oznacza, że w takim razie obwód naszego trapezu \(ABCD\) będzie równy:
$$Obw=6+8+10+10+10+6+6=56$$

C

Do tego zadania można podejść w sposób dość schematyczny. Widzimy, że każdy z proponowanych punktów ma współrzędną \(y=-2\), więc tak naprawdę musimy ustalić jaka będzie współrzędna \(x\). Tak jak współrzędna \(x\) punktu \(A\) jest o \(2\) mniejsza od współrzędnej \(x\) punktu \(D\), tak samo współrzędna \(x\) punktu \(B\) musi być od \(2\) mniejsza od współrzędnej \(x\) punktu \(C\). Tym samym możemy stwierdzić, że poszukiwanym \(B\) ma współrzędne \((2, -2)\).

D

Korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej, możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2ab+2ac+2bc \\
P_{c}=2\cdot5\cdot6+2\cdot5\cdot7+2\cdot6\cdot7 \\
P_{c}=60+70+84 \\
P_{c}=214$$

\(\frac{1}{10}\)

Skoro suma trzech naszych ułamków ma dać wynik równy \(\frac{7}{15}\), to możemy ułożyć takie oto równanie:
$$\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{x}=\frac{7}{15} \\
\frac{5}{30}+\frac{6}{30}+\frac{1}{x}=\frac{14}{30} \\
\frac{11}{30}+\frac{1}{x}=\frac{14}{30} \\
\frac{1}{x}=\frac{3}{30} \\
\frac{1}{x}=\frac{1}{10}$$

Trzeci składnik tej sumy jest więc równy \(\frac{1}{10}\). Tym samym udało się uzasadnić, że można go przedstawić w postaci ułamka zwykłego, którego licznik jest równy \(1\), a mianownik jest liczbą całkowitą dodatnią.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne wyrażenie arytmetyczne albo równanie prowadzące do obliczenia trzeciego składnika sumy, np. \(\frac{7}{15}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)\), i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy obliczysz trzeci składnik \(\frac{1}{10}\) i uzasadnisz, że jest on ułamkiem o liczniku \(1\).

Andrzej: \(70\), Basia: \(42\), Marek: \(14\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Na podstawie treści zadania moglibyśmy zapisać, że:
\(x\) - plakaty Marka
\(3x\) - plakaty Basi
\(3x+28\) - plakaty Andrzeja

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie zadania.
Wiemy, że chłopcy mają łącznie \(2\) razy więcej plakatów niż Basia. Moglibyśmy zatem zapisać, że:
$$x+3x+28=2\cdot3x \\
4x+28=6x \\
28=2x \\
x=14$$

Krok 3. Obliczenie liczby plakatów Andrzeja.
Obliczyliśmy, że \(x=14\), czyli zgodnie z naszymi oznaczeniami wiemy już, że Marek ma \(14\) plakatów. Musimy jeszcze obliczyć liczbę plakatów pozostałych osób, zatem:
Basia: \(3\cdot14=42\)
Andrzej: \(3\cdot14+28=42+28=70\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz oznaczenia i zapiszesz zależności między liczbami plakatów, ale nie ułożysz z nich równania (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą prowadzące do obliczenia liczby plakatów któregoś z przyjaciół (Krok 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik, czyli liczby plakatów całej trójki (Krok 3.).

Kąty: \(75°, 132°, 105°\)

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CEB\).
Zanim zaczniemy obliczać poszukiwane miary kątów, musimy poznać miarę kąta \(CEB\). Spójrzmy na trójkąt \(EBC\). Znamy dwie miary kątów w tym trójkącie, zatem skoro suma kątów w trójkątach wynosi zawsze \(180°\), to:
$$|\sphericalangle CEB|=180°-57°-48°=75°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AEC\).
Kąt \(AEC\) jest kątem przyległym do \(CEB\). Suma miar kątów przyległych jest zawsze równa \(180°\), zatem:
$$|\sphericalangle AEC|=180°-75°=105°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(CDA\).
Zgodnie z własnościami równoległoboków, kąt \(CDA\) ma tą samą miarę co kąt \(AEC\), zatem możemy zapisać, że
$$|\sphericalangle CDA|=105°$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(DAB\).
Suma kątów przy jednym ramieniu równoległoboku wynosi \(180°\). W takim razie:
$$|\sphericalangle DAB|=180°-105°=75°$$



Krok 5. Obliczenie miary kąta \(BCD\).
Kąt \(BCD\) będzie sumą kątów \(DCE\) oraz \(BCE\). Z własności równoległoboków wynika, że kąt \(DCE\) ma tą samą miarę co kąt \(DAB\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$|\sphericalangle BCD|=75°+57°=132°$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz miary dwóch spośród szukanych kątów trapezu (Krok 1. i 2.).
ALBO
• Gdy ustalisz miary dwóch kątów bez zapisania sposobu ich obliczenia, np. zaznaczysz je na rysunku.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik, czyli miary wszystkich trzech kątów (Krok 3., 4. i 5.).

\(6\) razy większe

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu (w rzeczywistości).
Wiemy, że mała tablica narysowana w skali \(1:20\) jest kwadratem o boku \(3 cm\). Skala \(1:20\) oznacza, że \(1cm\) na rysunku odpowiada \(20cm\) w rzeczywistości. To prowadzi nas do wniosku, że w rzeczywistości będzie do kwadrat o boku \(60cm\).

Krok 2. Obliczenie pola małej tablicy.
Skoro mała tablica jest kwadratem o boku \(60cm\), to jej pole będzie równe:
$$P=a^2 \\
P=(60cm)^2 \\
P=3600cm^2$$

Krok 3. Obliczenie pola dużej tablicy.
Duża tablica jest prostokątem o wymiarach \(240cm\times90cm\), zatem jej pole będzie równe:
$$P=240cm\cdot90cm \\
P=21600cm^2$$

Krok 4. Obliczenie ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy.
Na koniec musimy jeszcze ustalić ile razy pole dużej tablicy będzie większe od pola małej tablicy, zatem:
$$21600cm^2:3600cm^2=6$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz rzeczywistą długość boku małej tablicy oraz pole jednej z tablic (Krok 1. i 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (Krok 4.).

\(105cm^2\)

Krok 1. Obliczenie pola kwadratu.
Skoro jest to kwadrat o boku \(15cm\) to jego pole będzie równe:
$$P_{K}=a^2 \\
P_{K}=(15cm)^2 \\
P_{K}=225cm^2$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABE\).


Patrząc się na to jak został podzielony nasz kwadrat możemy stwierdzić, że trójkąt prostokątny \(ABE\) ma podstawę o długości \(a=15cm\) oraz wysokość \(h=6cm\). Tym samym jego pole będzie równe:
$$P_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot6cm\cdot15cm \\
P_{ABE}=3cm\cdot15cm \\
P_{ABE}=45cm^2$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(ADF\).
Trójkąt \(ADF\) jest trójkątem prostokątnym w którym \(a=10cm\) oraz \(h=15cm\), zatem:
$$P_{ADF}=\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot15cm \\
P_{ADF}=5cm\cdot15cm \\
P_{ADF}=75cm^2$$

Krok 4. Obliczenie pola czworokąta \(AECF\).
Pole naszego czworokąta będzie równe polu kwadratu, które pomniejszymy o pola obydwu wyznaczonych trójkątów, zatem:
$$P_{AECF}=225cm^2-45cm^2-75cm^2 \\
P_{AECF}=105cm^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole kwadratu oraz pole jednego z trójkątów odcinanych (Krok 1. i 2.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny sposób obliczenia pola czworokąta \(AECF\) (Krok 2. i 3.), ale popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik wraz z poprawną jednostką (Krok 4.).

\(132cm\)

Krok 1. Obliczenie krawędzi podstawy ostrosłupa.
Ściana boczna ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym, którego wysokość wynosi \(h=12cm\). Skoro więc pole tej ściany jest równe \(108 cm^2\), to możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
108 cm^2=\frac{1}{2}\cdot a\cdot12cm \\
108 cm^2=a\cdot6cm \\
a=18cm$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi bocznej.
Już wiemy, że ściana boczna naszego ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(a=18cm\) oraz wysokości \(h=12cm\). Jedną z własności trójkątów równoramiennych jest fakt, iż wysokość dzieli podstawę na dwie równe części. To oznacza, że na rysunku powstanie nam trójkąt prostokątny, w którym jedna przyprostokątna ma długość \(9cm\), a druga ma długość \(12cm\).


Przeciwprostokątną będzie zatem krawędź boczna, którą wyznaczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
$$9^2+12^2=x^2 \\
81+144=x^2 \\
x^2=225 \\
x=15 \quad\lor\quad x=-15$$

Długość krawędzi bocznej musi być dodatnia, zatem wiemy już, że ma ona długość \(x=15cm\).

Krok 3. Obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa.
Nasz ostrosłup ma w podstawie kwadrat o boku \(18cm\) (wiemy to, bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny), a do tego będziemy mieć jeszcze cztery krawędzie boczne, każda o długości \(15cm\). Tym samym suma długości wszystkich krawędzi wyniesie:
$$4\cdot18cm+4\cdot15cm=72cm+60cm=132cm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy ostrosłupa (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy dodatkowo obliczysz z twierdzenia Pitagorasa długość krawędzi bocznej (Krok 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik wraz z poprawną jednostką (Krok 3.).