Egzamin ósmoklasisty - Matematyka - 2024

Poniżej znajduje się egzamin ósmoklasisty z matematyki (CKE – maj 2024). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin ósmoklasisty 2024 - matematyka

Arkusz zawiera 15 zadań zamkniętych oraz 4 zadania otwarte. Łącznie do zdobycia jest 25 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to około 100 minut.

Zadanie 1. (1pkt) Ala codziennie uczyła się języka hiszpańskiego. Na diagramie przedstawiono, ile czasu przeznaczyła na naukę tego języka w kolejnych dniach tygodnia od poniedziałku do soboty
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ala przez cztery dni – od poniedziałku do czwartku – na naukę języka hiszpańskiego przeznaczyła łącznie $2$ godziny i $10$ minut.

Na naukę języka hiszpańskiego w sobotę Ala przeznaczyła o $40\%$ czasu mniej niż w piątek.

Zadanie 2. (1pkt) Wypisano ułamki spełniające łącznie następujące warunki:
• mianownik każdego z nich jest równy $4$
• licznik każdego z nich jest liczbą naturalną większą od mianownika
• każdy z tych ułamków jest większy od liczby $3$ oraz mniejszy od liczby $5$.

Wszystkich ułamków spełniających powyższe warunki jest:

sześć

siedem

osiem

dziewięć

Zadanie 3. (1pkt) Średnia arytmetyczna trzech liczb: $12, 14, k$, jest równa $16$.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba $k$ jest równa $22$.

Średnia arytmetyczna liczb: $12, 14, k, 11, 17$, jest większa od $16$.

Zadanie 4. (1pkt) Dane są dwie liczby $x$ i $y$ zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:
$$x=\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right) \\
y=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{3}\right)$$

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba $y$ jest liczbą $A/B$.

ujemną

dodatnią

Liczba $x$ jest $C/D$ od liczby $y$.

mniejsza

większa

Zadanie 5. (1pkt) Dany jest trapez $ABCD$, w którym bok $AB$ jest równoległy do boku $DC$. W tym trapezie poprowadzono odcinek $EC$ równoległy do boku $AD$, podano miary dwóch kątów oraz oznaczono kąt $\alpha$ (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Kąt $\alpha$ ma miarę:

$55°$

$50°$

$45°$

$20°$

Zadanie 6. (1pkt) Dane jest równanie $5x=\frac{y}{w}$, gdzie $x$, $y$, $w$ są różne od $0$.

Zadaniem Pawła było przekształcanie tego równania tak, aby wyznaczyć $x$, $y$, $w$. Paweł otrzymał trzy równania:
I. $x=\frac{y}{5w}$
II. $y=\frac{5x}{w}$
III. $w=\frac{y}{5x}$

Które z równań I–III są poprawnymi przekształceniami równania $5x=\frac{y}{w}$?

$I$ i $II$

$II$ i $III$

$I$ i $III$

$I, II, III$

Zadanie 7. (1pkt) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Iloczyn $3\cdot9^5$ jest równy wartości wyrażenia $3^{11}$.

Wyrażenie $\dfrac{2^8\cdot2^7}{2^{10}}$ można zapisać w postaci $2^5$.

Zadanie 8. (1pkt) Karolina kupiła jedno pudełko balonów. W tabeli podano informacje dotyczące kolorów balonów oraz ich liczby w tym pudełku.
egzamin ósmoklasisty

Karolina wyjmowała losowo po jednym balonie z pudełka. Pierwsze dwa wyjęte balony były w kolorze czerwonym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci balon losowo wyjęty przez Karolinę będzie w kolorze czerwonym?

$\frac{1}{3}$

$\frac{5}{16}$

$\frac{4}{15}$

$\frac{1}{4}$

Zadanie 9. (1pkt) Wyrażenie $x(x+4)-3(2x-5)$ można przekształcić równoważnie do postaci:

$x^2+2x-5$

$x^2-2x+5$

$x^2+2x-15$

$x^2-2x+15$

Zadanie 10. (1pkt) Podróż pociągiem z Olsztyna do Gdyni planowo trwa $2$ godziny i $54$ minuty. Pewnego dnia pociąg wyjechał z Olsztyna punktualnie o wyznaczonej godzinie, ale przyjechał do Gdyni z czterominutowym opóźnieniem o godzinie $17:31$.

Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie:

$14:27$

$14:41$

$14:31$

$14:33$

Zadanie 11. (1pkt) Na wykresie przedstawiono zależność pola pomalowanej powierzchni od ilości zużytej farby. Pole pomalowanej powierzchni jest wprost proporcjonalne do ilości zużytej farby.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

$18$ litrów tej farby wystarczy na pomalowanie $180 m^2$ powierzchni.

Na pomalowanie $125 m^2$ powierzchni wystarczy $12$ litrów tej farby.

Zadanie 12. (1pkt) W układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono pięć punktów $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$, $P_{4}$ oraz $P_{5}$ (zobacz rysunek). Wszystkie współrzędne tych punktów są liczbami całkowitymi. Punkt $P_{1}$ ma współrzędne $(-1, -2)$.
egzamin ósmoklasisty

Jeżeli współrzędną $x$ punktu $P_{1}$ zwiększymy o $4$, a współrzędną $y$ tego punktu zwiększymy o $3$, to otrzymamy współrzędne punktu:

$P_{2}$

$P_{3}$

$P_{4}$

$P_{5}$

Zadanie 13. (1pkt) Na rysunku przedstawiono prostokąt o bokach długości $a$ i $b$ podzielony na sześć kwadratów.
egzamin ósmoklasisty

Stosunek długości boków $a:b$ tego prostokąta jest równy:

$6:5$

$5:4$

$4:3$

$3:2$

Zadanie 14. (1pkt) W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątną $AC$ wydłużono o $7 cm$, a przyprostokątną $AB$ wydłużono o $12 cm$ i otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny $ADE$ o polu równym $200 cm^2$ (zobacz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Przyprostokątna trójkąta $ADE$ jest równa $20 cm$.

Pole trójkąta $ABC$ jest równe $52 cm^2$.

Zadanie 15. (1pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe $P$, a jedna ściana boczna ma pole równe $\frac{2}{9}P$.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe $A/B$.

$\frac{6}{9}P$

$\frac{8}{9}P$

Pole powierzchni podstawy tego ostrosłupa jest dwa razy $C/D$ niż pole powierzchni jego jednej ściany bocznej.

mniejsze

większe

Zadanie 16. (2pkt) Ela i Ania dostały w prezencie po jednym zestawie puzzli o takiej samej liczbie elementów. Ela ułożyła $\frac{2}{5}$ swoich puzzli, a Ania $\frac{1}{3}$ swoich. Dziewczynki ułożyły łącznie $440$ elementów.

Oblicz, z ilu elementów składa się jeden zestaw puzzli. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
$x$ - liczba puzzli w jednym pudełku
$\frac{2}{5}x$ - liczba puzzli, które ułożyła Ela
$\frac{1}{3}x$ - liczba puzzli, które ułożyła Ania

Dziewczyny ułożyły łącznie $440$ elementów, czyli otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{2}{5}x+\frac{1}{3}x=440 \\
\frac{6}{15}x+\frac{5}{15}x=440 \\
\frac{11}{15}x=440 \quad\bigg/\cdot15 \\
11x=6600 \\
x=600$$

Zgodnie z oznaczeniami $x$ jest liczbą puzzli w jednym pudełku, zatem to jest nasza końcowa odpowiedź.

Zadanie 17. (3pkt) Prostokąt $ABCD$ podzielono na trzy trójkąty: $AED$, $ACE$, $ABC$ (zobacz rysunek). Na rysunku podano również długości dwóch boków trójkąta $AED$ oraz zaznaczono dwa kąty trójkąta $ACE$, o takiej samej mierze $\alpha$.
egzamin ósmoklasisty

Oblicz pole trapezu $ABCE$. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości boku $AE$.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny $AED$. Znamy długości dwóch przyprostokątnych tego trójkąta, zatem miarę trzeciego boku możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
$$15^2+20^2=|AE|^2 \\
225+400=|AE|^2 \\
|AE|^2=625 \\
|AE|=25 \quad\lor\quad |AE|=-25$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem $|AE|=25cm$.

Krok 2. Obliczenie długości podstaw trapezu.
Skoro trójkąt $ACE$ jest równoramienny, to długość górnej podstawy $EC$ będzie taka sama jak ramienia $AE$. Stąd też możemy zapisać, że $b=|EC|=25cm$.

To od razu pozwala nam obliczyć, że dłuższy bok prostokąta $DC$ będzie miał długość:
$$|DC|=15cm+25cm \\
|DC|=40cm$$

Skoro tak, to dolna podstawa będzie miała długość $a=|AB|=40cm$.

Krok 3. Obliczenie pola trapezu.
Znamy już długości obydwu podstaw trapezu $a=40cm$ oraz $b=25cm$, widzimy też na rysunku, że wysokość jest równa $h=20cm$, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(40+25)\cdot20 \\
P=\frac{1}{2}\cdot65\cdot20 \\
P=65\cdot10 \\
P=650[cm^2]$$

Zadanie 18. (3pkt) Pan Jan sprzedał w swoim sklepie $120 kg$ truskawek. Połowę masy tych truskawek sprzedał w dużych opakowaniach, $10\%$ masy truskawek – w średnich, a pozostałe truskawki w małych opakowaniach. W tabeli podano informacje dotyczące sprzedaży truskawek w sklepie pana Jana.
egzamin ósmoklasisty

Oblicz, jaką kwotę otrzymał pan Jan ze sprzedaży wszystkich truskawek. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie masy truskawek w poszczególnych opakowaniach.
Mamy $120kg$. Rozpiszmy teraz ile kilogramów sprzedano w poszczególnych opakowaniach.

Duże opakowania: $\frac{1}{2}\cdot120kg=60kg$
Średnie opakowania: $0,1\cdot120kg=12kg$
Małe opakowania: $120kg-60kg-12kg=48kg$

Krok 2. Obliczenie ilości sprzedanych opakowań.
Duże opakowania mają po $1kg$, więc skoro masa truskawek w takich opakowaniach ma być równa $60kg$, to takich opakowań będziemy mieć po prostu $60$.

Średnie opakowania mają po $0,5kg$, więc skoro masa truskawek w takich opakowaniach ma być równa $12kg$, to takich opakowań będziemy mieć $12:0,5=24$.

Średnie opakowania mają po $0,25kg$, więc skoro masa truskawek w takich opakowaniach ma być równa $48kg$, to takich opakowań będziemy mieć $48:0,25=192$.

Krok 3. Obliczenie kwoty ze sprzedaży wszystkich truskawek.
Zgodnie z cennikiem podanym w tabelce, możemy zapisać, że łączny przychód wyniesie:
$$60\cdot18+24\cdot10+192\cdot6= \\
=1080+240+1152=2472zł$$

Zadanie 19. (2pkt) Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże (zobacz rysunek). Krawędź sześcianu ma długość $10 cm$. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $9 cm$, a jego objętość jest równa $324 cm^3$.
egzamin ósmoklasisty

Oblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w podstawie ostrosłupa będziemy mieć kwadrat i zgodnie z treścią zadania wiemy, że jest to kwadrat o boku $9cm$. Pole podstawy będzie zatem równe:
$$P_{p}=9\cdot9 \\
P_{p}=81[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Z treści zadania wiemy, że objętość ostrosłupa jest równa $324 cm^3$, zatem korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupów, otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
324=\frac{1}{3}\cdot 81\cdot H \\
324=27\cdot H \\
H=12$$

Krok 3. Obliczenie różnicy wysokości wież.
Pierwsza wieża będzie miała wysokość równą $10cm+12cm=22cm$. Druga wieża ma wysokość równą $10cm+10cm$. Różnica wysokości wyniesie więc $22cm-20cm=2cm$.

Zdobyłeś/aś: 0/25pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2024 – Odpowiedzi

Egzamin ósmoklasisty z matematyki 2024 – PDF