Egzamin ósmoklasisty – Matematyka – 2024 – Odpowiedzi

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W ciągu tych czterech dni, czas nauki hiszpańskiego wyniósł:
$$25+30+40+35=130[min.]$$

\(130\) minut to \(2\) godziny i \(10\) minut, czyli zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W piątek Ala uczyła się przez \(50\) minut.
W sobotę Ala uczyła się przez \(30\) minut.

Możemy więc powiedzieć, że Ala uczyła się o \(50-30=20\) minut krócej.

Ala uczyła się więc o \(\frac{20}{50}=40\%\) krócej niż w piątek, czyli zdanie jest prawdą.

B

W tym zadaniu powinniśmy zauważyć, że \(3=\frac{12}{4}\) oraz że \(5=\frac{20}{4}\). Interesujące nas ułamki muszą być większe od \(3\) oraz mniejsze od \(5\), czyli nawiązując do warunków z treści zadania, pasują nam następujące ułamki:
$$\frac{13}{4}, \frac{14}{4}, \frac{15}{4}, \frac{16}{4}, \\
\frac{17}{4}, \frac{18}{4}, \frac{19}{4}$$

Łącznie jest więc \(7\) takich ułamków.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Skoro średnia arytmetyczna podanych trzech liczb jest równa \(16\), to:
$$\frac{12+14+k}{3}=16 \\
12+14+k=48 \\
26+k=48 \\
k=22$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Średnia arytmetyczna pięciu podanych liczb będzie równa:
$$śr=\frac{12+14+22+11+17}{5} \\
śr=\frac{76}{5} \\
śr=15,2$$

Średnia jest więc mniejsza od \(16\), czyli zdanie jest fałszem.

A., , C.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Tutaj powinniśmy od razu zauwazyć, że liczba \(y\) jest ujemna, bo od ułamka \(\frac{4}{5}\) będziemy musieli odjąć liczbę większą od \(1\). Jeśli jednak tego nie dostrzegamy, to zawsze możemy sobie rozpisać, że liczba \(y\) jest równa:
$$y=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{3}\right) \\
y=\frac{4}{5}-\frac{4}{3} \\
y=\frac{12}{15}-\frac{20}{15} \\
y=-\frac{8}{15}$$

Jest to więc liczba ujemna.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Liczba \(x\) jest równa:
$$x=\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right) \\
x=-\frac{16}{15}$$

Skoro więc \(x=-\frac{16}{15}\) oraz \(y=-\frac{8}{15}\), to liczba \(x\) jest mniejsza od liczby \(y\).

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CEB\).
Na rysunku powstał nam tak naprawdę równoległobok oraz trójkąt. Powinniśmy zauważyć, że zgodnie z własnościami równoległoboków, miara kąta \(AEC\) będzie równa \(135°\). Kąt \(AEC\) oraz kąt \(CEB\) to kąty przyległe, których suma musi być równa \(180°\), a skoro tak, to:
$$|\sphericalangle CEB|=180°-135°=45°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Spójrzmy na trójkąt EBC, w którym znajduje się nasz poszukiwany kąt \(\alpha\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, zatem:
$$\alpha=180°-80°-45°=55°$$

C

Wykonajmy każde z przekształceń i sprawdźmy w ten sposób, które jest poprawne:

Wyznaczenie \(x\):
$$5x=\frac{y}{w} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{5} \\
x=\frac{y}{5w}$$

Wyznaczenie \(y\):
$$5x=\frac{y}{w} \quad\bigg/\cdot w \\
y=5xw$$

Wyznaczenie \(w\):
$$5x=\frac{y}{w} \quad\bigg/\cdot w \\
y=5xw \quad\bigg/:5x \\
w=\frac{y}{5x}$$

Poprawne zatem było \(I\) oraz \(III\) przekształcenie.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z działań na potęgach, nasz iloczyn możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3\cdot9^5=3\cdot(3^2)^5=3^1\cdot3^{10}=3^{1+10}=3^{11}$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
I ponownie, korzystając z działań na potęgach, nasze wyrażenie możemy rozpisać jako:
$$\frac{2^8\cdot2^7}{2^{10}}=\frac{2^{8+7}}{2^{10}}=\frac{2^{15}}{2^{10}}=2^{15-10}=2^5$$

C

Wszystkich balonów w pudełku mamy:
$$10+8+6+8=32$$

Po wylosowaniu dwóch balonów zostanie nam:
$$32-2=30$$

Wśród tych \(30\) balonów mamy już tylko \(8\) balonów czerwonych (bo dwa już zostały wylosowane), więc prawdopodobieństwo wylosowania czerwonego balonu będzie równe:
$$\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$$

D

Upraszczając podane wyrażenie musimy uważać na znaki, szczególnie na ten minus stojący przed trójkąt. Rozpisując nasze wyrażenie, otrzymamy następującą postać:
$$x(x+4)-3(2x-5)=x^2+4x-6x+15=x^2-2x+15$$

D

Skoro pociąg jedzie \(2\) godziny i \(54\) minuty, a dodatkowo ma jeszcze \(4\) minuty opóźnienia, to łączny czas podróży wyniósł \(2\) godziny i \(58\) minut.

Musimy teraz ustalić, o której godzinie ten pociąg wyjechał z Olsztyna, skoro do Gdańska dotarł o \(17:31\). Można to zrobić na różne sposoby, ale najprościej byłoby chyba zauważyć, że gdyby podróż trwała równe \(3\) godziny, to wyjazd byłby o godzinie \(14:31\). Skoro ten czas podróży jest o \(2\) minuty krótszy od trzech godzin, to wyjazd będzie \(2\) minuty później niż \(14:31\), czyli o \(14:33\).

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z wykresu możemy odczytać, że przykładowo \(10\) litrów farby wystarczy do pomalowania \(100m^2\) powierzchni. Skoro są to wielkości wprost proporcjonalne, to możemy przyjąć, że każdy litr tej farby pozwala pomalować \(10m^2\) powierzchni, czyli tym samym \(18\) litrów wystarczy na pomalowanie \(180 m^2\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
\(12\) litrów tej farby wystarczy na pomalowanie \(12\cdot10m^2=120m^2\). To oznacza, że pomalowanie tą ilością farby powierzchni \(125m^2\) jest niemożliwe, czyli zdanie jest fałszem.

A

Jeśli współrzędną \(x=-1\) zwiększymy o \(4\), to współrzędna \(x\) nowego punktu będzie równa \(-1+4=3\). Analogicznie, jeśli współrzędną \(y=-2\) zwiększymy o \(3\), to współrzędna nowego punktu wyniesie \(-2+3=1\). Szukamy więc punktu o współrzędnych \(3,1\), a takim punktem jest \(P_{2}\).

B

Przyjmijmy, że bok najmniejszego kwadratu ma długość \(x\). Z rysunku wynika, że długość boku największego kwadratu jest \(3\) razy większa od najmniejszych kwadratów, czyli bok największego kwadratu ma długość \(3x\). Tym samym bok \(b\) naszego prostokąta ma długość \(x+3x=4x\).


Teraz spoglądamy na lewą część rysunku, gdzie widzimy dwa średniej wielkości kwadraty. Ustaliliśmy już, że bok \(b\) ma długość \(4x\), czyli tym samym każdy taki średni kwadrat ma bok o długości \(4x:2=2x\). Skoro tak, to bok \(a\) moglibyśmy opisać jako \(2x+3x=5x\).

Tym samym możemy stwierdzić, że stosunek boków \(a:b\) jest równy \(5x:4x\), czyli \(5:4\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z treści zadania wynika, że trójkąt \(ADE\) jest równoramienny, więc moglibyśmy długości jego boków zapisać np. jako \(a\) oraz \(a\). Skoro więc pole tego trójkąta ma być równe \(200 cm^2\), to zgodnie ze wzorem na pole trójkąta moglibyśmy zapisać, że:
$$200=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a \\
a^2=400 \\
a=20 \quad\lor\quad a=-20$$

Długość boku trójkąta musi być oczywiście dodatnia, więc zostaje nam \(a=20cm\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro przyprostokątne \(AD\) oraz \(AE\) mają długość \(20cm\), to zgodnie z rysunkiem możemy stwierdzić, że \(|AB|=20cm-12cm=8cm\) oraz \(|AC|=20cm-7cm=13cm\). To oznacza, że pole trójkąta ABC będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot13 \\
P=4\cdot13 \\
P=52[cm^2]$$

Zdanie jest więc prawdą.

B., C.

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery jednakowe ściany boczne. Skoro więc pole jednej z takich ścian jest równe \(\frac{2}{9}P\), co całe pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b}=4\cdot\frac{2}{9}P \\
P_{b}=\frac{8}{9}P$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Skoro pole powierzchni całkowitej jest równe \(P\), a \(P_{b}=\frac{8}{9}P\), to pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=P-\frac{8}{9}P \\
P_{p}=\frac{1}{9}P$$

Pole podstawy jest więc dwa razy mniejsze niż pole jednej ściany bocznej, czyli zdanie jest prawdą.

\(600\) puzzli

Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(x\) - liczba puzzli w jednym pudełku
\(\frac{2}{5}x\) - liczba puzzli, które ułożyła Ela
\(\frac{1}{3}x\) - liczba puzzli, które ułożyła Ania

Dziewczyny ułożyły łącznie \(440\) elementów, czyli otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{2}{5}x+\frac{1}{3}x=440 \\
\frac{6}{15}x+\frac{5}{15}x=440 \\
\frac{11}{15}x=440 \quad\bigg/\cdot15 \\
11x=6600 \\
x=600$$

Zgodnie z oznaczeniami \(x\) jest liczbą puzzli w jednym pudełku, zatem to jest nasza końcowa odpowiedź.

\(650cm^2\)

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AE\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(AED\). Znamy długości dwóch przyprostokątnych tego trójkąta, zatem miarę trzeciego boku możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
$$15^2+20^2=|AE|^2 \\
225+400=|AE|^2 \\
|AE|^2=625 \\
|AE|=25 \quad\lor\quad |AE|=-25$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(|AE|=25cm\).

Krok 2. Obliczenie długości podstaw trapezu.
Skoro trójkąt \(ACE\) jest równoramienny, to długość górnej podstawy \(EC\) będzie taka sama jak ramienia \(AE\). Stąd też możemy zapisać, że \(b=|EC|=25cm\).

To od razu pozwala nam obliczyć, że dłuższy bok prostokąta \(DC\) będzie miał długość:
$$|DC|=15cm+25cm \\
|DC|=40cm$$

Skoro tak, to dolna podstawa będzie miała długość \(a=|AB|=40cm\).

Krok 3. Obliczenie pola trapezu.
Znamy już długości obydwu podstaw trapezu \(a=40cm\) oraz \(b=25cm\), widzimy też na rysunku, że wysokość jest równa \(h=20cm\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(40+25)\cdot20 \\
P=\frac{1}{2}\cdot65\cdot20 \\
P=65\cdot10 \\
P=650[cm^2]$$

\(2472zł\)

Krok 1. Obliczenie masy truskawek w poszczególnych opakowaniach.
Mamy \(120kg\). Rozpiszmy teraz ile kilogramów sprzedano w poszczególnych opakowaniach.

Duże opakowania: \(\frac{1}{2}\cdot120kg=60kg\)
Średnie opakowania: \(0,1\cdot120kg=12kg\)
Małe opakowania: \(120kg-60kg-12kg=48kg\)

Krok 2. Obliczenie ilości sprzedanych opakowań.
Duże opakowania mają po \(1kg\), więc skoro masa truskawek w takich opakowaniach ma być równa \(60kg\), to takich opakowań będziemy mieć po prostu \(60\).

Średnie opakowania mają po \(0,5kg\), więc skoro masa truskawek w takich opakowaniach ma być równa \(12kg\), to takich opakowań będziemy mieć \(12:0,5=24\).

Średnie opakowania mają po \(0,25kg\), więc skoro masa truskawek w takich opakowaniach ma być równa \(48kg\), to takich opakowań będziemy mieć \(48:0,25=192\).

Krok 3. Obliczenie kwoty ze sprzedaży wszystkich truskawek.
Zgodnie z cennikiem podanym w tabelce, możemy zapisać, że łączny przychód wyniesie:
$$60\cdot18+24\cdot10+192\cdot6= \\
=1080+240+1152=2472zł$$

\(2cm\) różnicy

Krok 1. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w podstawie ostrosłupa będziemy mieć kwadrat i zgodnie z treścią zadania wiemy, że jest to kwadrat o boku \(9cm\). Pole podstawy będzie zatem równe:
$$P_{p}=9\cdot9 \\
P_{p}=81[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Z treści zadania wiemy, że objętość ostrosłupa jest równa \(324 cm^3\), zatem korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupów, otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
324=\frac{1}{3}\cdot 81\cdot H \\
324=27\cdot H \\
H=12$$

Krok 3. Obliczenie różnicy wysokości wież.
Pierwsza wieża będzie miała wysokość równą \(10cm+12cm=22cm\). Druga wieża ma wysokość równą \(10cm+10cm\). Różnica wysokości wyniesie więc \(22cm-20cm=2cm\).