Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeśli oznaczymy boki prostokąta jako \(x\) oraz \(y\) to powstanie nam taka oto sytuacja:
Krok 2. Obliczenie pola trapezu \(ABCD\).
Na początek obliczmy pole trapezu \(ABCD\). Mamy wszystkie potrzebne dane, ponieważ \(a=400\), \(b=100\) oraz \(h=75\), zatem:
$$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(400+100)\cdot75 \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot500\cdot75 \\
P_{ABCD}=250\cdot75 \\
P_{ABCD}=18750$$
Krok 3. Zapisanie równań.
Musimy teraz skorzystać ze wskazówki zapisanej pod zadaniem, czyli z podpowiedzi, że powinniśmy skorzystać ze wzoru \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\).
Trapez \(ABFE\) będzie mieć podstawy o długości \(a=400\) oraz \(b=x\), natomiast wysokość to \(h=y\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{ABFE}=\frac{1}{2}\cdot(400+x)\cdot y \\
P_{ABFE}=(200+\frac{1}{2}x)\cdot y \\
P_{ABFE}=200y+\frac{1}{2}xy$$
Trapez \(EFCD\) będzie mieć podstawy o długości \(a=x\) oraz \(y=100\), natomiast wysokość to \(h=75-y\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{EFCD}=\frac{1}{2}\cdot(x+100)\cdot(75-y) \\
P_{EFCD}=(\frac{1}{2}x+50)\cdot(75-y) \\
P_{EFCD}=\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y$$
Wiemy też, że pole trapezu \(ABCD\) jest równe \(18750\), zatem podstawiając te wszystkie informacje do wzoru \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\), powstanie nam takie oto równanie:
$$18750=\left(200y+\frac{1}{2}xy\right)+\left(\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y\right) \\
18750=200y+\frac{75}{2}x+3750-50y \\
15000=150y+\frac{75}{2}x \\
150y=15000-\frac{75}{2}x \quad\bigg/\cdot\frac{1}{150} \\
y=100-\frac{75}{300}x \\
y=-\frac{1}{4}x+100$$
Dodatkowo możemy od razu zapisać, że pole prostokąta wyznaczymy ze wzoru:
$$P=x\cdot y$$
Krok 4. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=-\frac{1}{4}x+100\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot\left(-\frac{1}{4}x+100\right) \\
P=-\frac{1}{4}x^2+100x$$
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(P=-\frac{1}{4}x^2+100x\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-\frac{1}{4}x^2+100x\).
Od razu też możemy zapisać dziedzinę funkcji. Z rysunku oraz treści zadania wynika, że \(x\) musi być większy od boku o długości \(100\), ale jednocześnie musi być mniejszy od \(400\), co prowadzi nas do wniosku, że dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(100;400)\).
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-100}{2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)} \\
x_{W}=\frac{-100}{-\frac{1}{2}} \\
x_{W}=200$$
Otrzymany wynik mieści się w dziedzinie naszej funkcji, więc długość \(x\) jest jak najbardziej poprawna.
Krok 6. Wyznaczenie długości drugiego boku prostokąta i obliczenie pola powierzchni.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie największe gdy jeden z boków prostokąta będzie miał długość \(x=200\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość drugiego boku, zatem korzystając z wcześniej zapisanego równania \(y=-\frac{1}{4}x+100\), otrzymamy:
$$y=-\frac{1}{4}\cdot200+100 \\
y=-50+100 \\
y=50$$
To oznacza, że pole naszego prostokąta będzie równe:
$$P=200m\cdot50m \\
P=10000m^2$$
