Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa \(65m\). Boisko w drugiej szkole ma długość o \(4m\) większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o \(8m\) mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.
\(s\) – szerokość pierwszego boiska
\(d\) – długość pierwszego boiska
\(s-8\) – szerokość drugiego boiska
\(d+4\) – szerokość drugiego boiska
\(p=65\) – długość przekątnej boiska
W tym zadaniu możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa, bowiem długość i szerokość boiska stanowią przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a przekątna boiska byłaby wtedy przeciwprostokątną. Jeśli ułożymy dwa takie równania (dla pierwszego i drugiego boiska) to będziemy w stanie wyznaczyć długość i szerokość, zatem:
\begin{cases}
s^2+d^2=65^2 \\
(s-8)^2+(d+4)^2=65^2
\end{cases}\begin{cases}
s^2+d^2=65^2 \\
s^2-16s+64+d^2+8d+16=65^2
\end{cases}
Odejmując ten układ równań stronami pozbędziemy się zarówno \(s^2\) jaki i \(d^2\). Jeśli tego nie dostrzeżemy, to równie dobrze możemy podstawić po prawej stronie drugiego równania \(65^2=s^2+d^2\) i wtedy osiągniemy identyczny efekt, więc:
$$-16s+64+8d+16=0 \\
-16s+8d+80=0 \\
8d=16s-80 \\
d=2s-10$$
Podstawiając teraz wyznaczoną wartość \(d=2s-10\) do pierwszego równania \(s^2+d^2=65^2\) otrzymamy:
$$s^2+(2s-10)^2=65^2 \\
s^2+4s^2-40s+100=4225 \\
5s^2-40s-4125=0 \quad\bigg/:5 \\
s^2-8s-825=0$$
Ostatnie dzielenie przez \(5\) nie jest koniecznie, ale dzięki niemu będziemy mogli za chwilę pracować na nieco mniejszych liczbach.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=-825\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-825)=64-(-3300)=64+3300=3364 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{3364}=58$$
$$s_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-58}{2\cdot1}=\frac{8-58}{2}=\frac{-50}{2}=-25 \\
s_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+58}{2\cdot1}=\frac{8+58}{2}=\frac{66}{2}=33$$
Wartość ujemną obliczoną w poprzednim kroku oczywiście odrzucamy, bo szerokość nie może być wartością ujemną. To oznacza, że szerokość pierwszego boiska jest równa \(s=33\). Długość tego boiska obliczymy korzystając z wybranego równania z kroku drugiego, np.:
$$d=2s-10 \\
d=2\cdot33-10 \\
d=66-10 \\
d=56$$
Wymiary pierwszego boiska to: \(33\times56\).
Musimy jeszcze obliczyć wymiary drugiego boiska:
Szerokość drugiego boiska: \(s-8=33-8=25\)
Długość drugiego boiska: \(d+4=56+4=60\)
Wymiary drugiego boiska to: \(25\times60\).
Wymiary pierwszego boiska to: \(33\times56\).
Wymiary drugiego boiska to: \(25\times60\).
